Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Przykład1.5
Znaleźćcałkęszczególnąrównania
y'-ctg(x)y=sin3x,
spełniającąwarunekpoczątkowy
y
(
-
π
2
)
=1.
Rozwiązanie:Jesttorównanieróżniczkowelinioweniejednorodne.Rozwiązujemy
najpierwrównaniejednorodne
y'-ctg(x)y=0
y'=ctg(x)y,
dy
dx
=ctg(x)y,
dy
y
=ctg(x)dx,
dy
y
=
cos(
sin(
x
x
)
)
dx,
∫
dy
y
=
∫
cos(
sin(
x
x
)
)
dx,
ln|y|=ln|sinx|+ln|C|,
ln|y|=ln(|sinx||C|),
|y|=|C||sinx|,
y=Csinx.
Uzmienniamystałą,przyjmującC=C(x),czyliprzyjmujemy
y=C(x)sinx.
(1.2)
NastępnieC(x)dobieramytak,abypowyższebyłorozwiązaniemrównania
niejednorodnego.Wtymceluobliczamy
y'=C'(x)sinx+C(x)cosx
iwstawiamydorównanianiejednorodnego
C'(x)sinx+C(x)cosx-ctgxC(x)sinx=sin3x.
15
