Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
WSTĘP
11
wariacjimiary,twierdzeniaRadonaŹNikodyma,twierdzeniaRieszaore-
prezentacji),
‚pojęciaprzestrzeniBanachaiprzestrzeniHilberta,przestrzeniLp,ope-
ratoraograniczonegoinormyoperatorowej,otwartościzbioruoperato-
rówodwracalnych,
‚lematuRiesza(czylitwierdzeniaoreprezentacjiciągłegofunkcjonału
naprzestrzeniHilberta)izwiązkuograniczonychformpółtoraliniowych
ioperatorówograniczonychnaprzestrzeniHilberta,pojęciaoperatora
sprzężonegodoograniczonegooperatoranaprzestrzeniHilberta.
Będziemytakżeużywaćpojęciacałkizfunkcjiciągłejnazwartymprzedziale
owartościachwprzestrzeniBanacha.Jesttozagadnienieomawianezapewne
nakażdymkursierównańróżniczkowych.Wwersjiznacznieogólniejszej
Praktyczniekażdezpowyższychzagadnieńnależydostandardowego
pełnieniachzebraliśmykilkanajpotrzebniejszychwyników(wtymklasyczne
twierdzeniaanalizyfunkcjonalnejtakiejaktwierdzenieBanachaŹSteinhausa,
twierdzenieoodwzorowaniuotwartym,czytwierdzenieowykresiedomknię-
tym)zmożliwiekrótkimiinowoczesnymidowodami.
Wszystkierozważaneprzestrzeniewektorowebędąnadciałemliczbze-
spolonych.Będziemyrównieżstosowaćpewnekonwencjenotacyjneznane
zliteraturyfizycznej.Wszczególnościiloczynskalarny(oznaczanysym-
bolemxll>)będziezawszeliniowywdrugimargumencie.Ponadtobędziemy
używaćbardzowygodnejnotacjiπbraniπketn,którąpokrótcewyjaśnimy.
NiechHbędzieprzestrzeniąHilberta.WówczaskażdywektorwPHwyz-
naczadokładniejednoodwzorowanielinioweCÑHprzeprowadzające1PC
nawPH.Oznaczamyjesymbolemw>.
TerazrozważmynaCstandardowąstrukturęprzestrzeniHilberta(czyli
taką,przyktórejt1}jestbaząortonormalną).Możemywówczasrozważyć
odwzorowaniesprzężonew>
˚dow>,którejestograniczonymfunkcjonałem
naHprzeprowadzającymdowolnywektoronaliczbęxwo>PC.Odwzoro-
wanietooznaczamysymbolemxw.Wszczególnościzłożeniexw1˝w2>jest
odwzorowaniemliniowymCÑCpolegającymnamnożeniuprzezskalar
xw1w2>,natomiastzłożeniew2>˝xw1(zapisywanejakow2>xw1)jestod-
wzorowaniemHÑHprzeprowadzającymdowolnyoPHnaxw1o>w2.
Ważnymwzoremznanymzteoriiprzestrzeniziloczynemskalarnym,
zktóregobędziemyintensywniekorzystaćjestformułapolaryzacyjna.Ma
onanajróżniejszeŹczasemcałkiemwyrafinowaneŹsformułowania,lecz
myskorzystamyznastępującejprostejwersji:niechFbędzieformąpół-
toraliniową(antyliniowąwzględempierwszegoargumentu)naprzestrzeni
