Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Rozdział1
widmooperatora
1010C˚-algebraoperatorównaprzestrzeniHilberta
NiechHbędzieprzestrzeniąHilberta.PrzestrzeńBanachaB(H)jest
algebrąnadCzmnożeniemzdefiniowanymjakoskładanieoperatorów.Al-
gebratamajedynkę(elementneutralnymnożenia)Źjestniąoperatoriden-
tycznościowyl:HÑH.Operacjabraniaoperatorasprzężonego
B(H)QxÞÝÑx˚PB(H)
jestantyliniową,antymultyplikatywnąinwolucją(dlakażdegoxPB(H)
mamyx˚˚“x).Ponadtonormaoperatorowajestzgodnazestrukturą
algebrywtymsensie,że
}xy}ď}x}}y},
x,yPB(H).
WszczególnościB(H)jestalgebrąBanacha.
Stwierdzenie1010DlaxPB(H)mamy
(1)}x}“}x˚})
(2)}x˚x}“}x}2.
Dowód0Obierównościsąoczywiste,gdyx“0.Przyjmijmywięc,żemamy
}x}ą0.Wówczasoczywiście
}x
˚x}ď}x˚}}x}.
Dalejobliczamy
}x
˚x}“sup
}x
˚xξ}“sup
sup
ˇ
ˇxnx
˚xξ>ˇ
ˇ
}ξ}“1
}ξ}“1
}η}“1
ěsup
ˇ
ˇxξx
˚xξ>ˇ
ˇ“sup
}xξ}2“}x}2.
}ξ}“1
}ξ}“1
Zatem
}x}2ď}x˚x}ď}x˚}}x}.
(1.1)
Skracając}x}poobustronachotrzymujemy
}x}ď}x˚},
conamocysymetriipokazuje,że}x˚}“}x},apodstawiająctenwynikdo
I
