Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1020WIDMOIPROMIEŃSPEKTRALNY
toAPρ(x)i
17
8
(Al´x)l1“
ÿ
(Ao´A)n(Aol´x)lnl1.
n“o
Wszczególnościodwzorowanieρ(x)QAÞÑ(Al´x)l1PB(H)(zwane
rezolwentąoperatorax)jestholomorficzne.
Uwaga1030DladowolnychA,µPρ(x)mamy
(Al´x)l1´(µl´x)l1“(µ´A)(Al´x)l1(µl´x)l1.
(1.2)
(wszczególnościwartościrezolwentyxwróżnychpunktachρ(x)sąprze-
mienne).Istotnie:wzórjestoczywistydlaA“µ,adlaA‰µłatwo
sprawdzamy,że
µlλ((Al´x)
1
l1´(µl´x)l1˘(µl´x)(Al´x)
“1
µlλ((Al´x)
l1(µl´x)´l˘(Al´x)
“1
µlλ((Al´x)
l1((µ´A)l`(Al´x)˘´l˘(Al´x)
“1
µlλ((µ´A)(Al´x)
l1`l´l˘(Al´x)“l
oraz
(µl´x)(Al´x)1
µlλ((Al´x)
l1´(µl´x)l1˘
“1
µlλ(µl´x)(l´(Al´x)(µl´x)
l1˘
“1
µlλ(µl´x)(l´((A´µ)l`(µl´x)˘(µl´x)
l1˘
“1
µlλ(µl´x)(l´(A´µ)(µl´x)
l1`l˘“l,
czylioperator(µl´x)(Al´x)jestodwracalny,ajegoodwrotnymjest
1
lubtożsamościąrezolwentową.
Stwierdzenie1040Niechx,yPB(H).Wtedy
σ(xy)Yt0}“σ(yx)Yt0}.
(1.3)
Dowód0NiechAPρ(yx)Kt0}.OperatorAl´xyjestodwracalny,gdyż
(Al´xy)´1
λ(l`x(Al´yx)
l1y˘¯
“1
λ(Al´xy`(Al´xy)x(Al´yx)
l1y˘
“1
λ(Al´xy`x(Al´yx)(Al´yx)
l1y˘
“1
λ(Al´xy`xy)“l
i
´1
λ(l`x(Al´yx)
l1y˘¯(Al´xy)
