Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
10WIDMOOPERATORA
nieżnaprzypadek,gdyxjestoperatorempomiędzyróżnymiprzestrzeniami
Hilberta.TakwięcjeśliHiKsąprzestrzeniamiHilberta,todlakażdego
xPB(H,K)mamy}x˚x}“}x}2.
Stwierdzenie1.1(1)mówi,żeinwolucjaxÞÑx˚naB(H)jestizometrią.
AlgebręBanachawrazzizometrycznąantyliniowąiantymultyplikatywnąin-
wolucjąnazywamy˚-algebrąBanacha,natomiast˚-algebręBanacha,wktó-
TakwięcB(H)jestC˚-algebrą.
jestC˚-algebrą.DladowolnegopodzbioruSĂB(H)istniejenajmniejsza
C˚-algebraAĂB(H)zawierającaS.NazywamyjąC˚-algebrągenerowaną
przezSioznaczamysymbolemC˚(S).Nietrudnowykazać,żeC˚(S)jest
domknięciemzbiorukombinacjiliniowychdowolnychiloczynówelementów
zbioruSiS˚“ts˚sPS}.DlaxPB(H)będziemypisaćC˚(x)oraz
C˚(x,l)zamiastC˚(tx})iC˚(tx,l}).
PrzykłademC˚-algebryjesttakżeprzestrzeńC(X)dlazwartejprzes-
trzeniXznormąjednostajną}l}8,punktowymdodawaniemimnożeniem
orazinwolucjąfÞÑf.PozornieinnymprzykłademjestprzestrzeńCb(Y)
ograniczonychfunkcjiciągłychnalokalniezwartejprzestrzeniYznormą
}l}8ipunktowymidziałaniami.Jesttoprzykładtylkopozornieodmienny,
gdyżwistocieCb(Y)jestnaturalnieizomorficznazC(3Y),gdzie3Yjest
1020Widmoipromieńspektralny
NiechxPB(H).Przypomnijmy,żexjestodwracalny,jeśliistniejeope-
ratoryPB(H)taki,żexy“yx“l.Zbioremrezolwentowymxnazywamy
ρ(x)“{APCoperatorAl´xjestodwracalny(,
ajegodopełnienieσ(x)“CKρ(x)nazywamywidmemlubspektrumopera-
torax.
Wiadomo,żezbióroperatorówodwracalnychjestotwarty,aρ(x)jest
przeciwobrazemtegozbioruprzyciągłymodwzorowaniu
CQAÞÝÑAl´xPB(H),
copokazuje,żezbiórrezolwentowyjestotwarty.Cowięcej,jeśliAoPρ(x)i
APCspełnia
|A´Ao|ă
}pλ01lx)´1},
1
2Podprzestrzeńwektorowazamkniętanaskładanieoperatorówioperacjębraniaoperatora
sprzężonego.
