Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
50
1.Heurystycznepodstawyteoriiwzględności
dynamiki(równośćakcjiireakcji).Wprowadzamycałkowitąmasę
M
=
Σ
n
i=1mi
orazwektorwodzącyśrodkamasywukładzie
S
,R=
MΣ
1
imi
r
i
.Przytakich
siłachcałkowitypędP=
Σ
i
p
i
jestzachowany,dP
/
d
t
=0.Prędkośćśrodka
masyw
S
jestu=dR
/
d
t
=P
/M
.PonieważwektoryPiusąstałe,więc
R=
izolowanymcałkowitykrętjestzachowany,J=
t
u+R
o
,wektorR
o
wskazujepołożenieśrodkamasyw
Σ
i
r
i×
p
i
t
=
=0.Wukładzie
−
const
−
−
→
.Wukła-
dzie
S!
poszczególnecząstkimająprędkościv
!
i
=v
i−
Viwnimcałkowity
momentpędujestJ
!
=
Σ
i
r
!
i×
p
!
i
=J+
M
V
×
R
o
—zmieniasięostały
wektor.Tenukładcząstekniewyróżniadynamicznieżadnegoukładuinercjal-
nego(kinematyczniewyróżnionyjesttenIUO,wktórymP=0)iwkażdym
całkowitykrętjestzachowany.
(b)
Dlapojedynczejcząstkiwpolusiłcentralnychw
S
,czylimającychpo-
tencjał
U
osymetriisferycznej,siłacentralnajestF(
r
)=
−
(d
U/
d
r
)r
/r
.Dla
takiejsiłyzachowanyjestkrętwzględempoczątkuOtegoukładu:
dJ
dt
=
dt
d
(r×p)=v×p+r×
dp
dt
=0+r×(−
dU
dr
r
r)=0.
Natomiastw
S!
krętJ
!
względempoczątku
O!
tegoukładuniejestzachowany,
dJ!
dt
=
dt
d
[J+V×(mr−tp)]=
dJ
dt
+V×[mv−p−t
dp
dt]
=0−tV×(−
dU
dr
r
r)=+
r
t
dU
dr
V×r̸=0.
(1.8)
W
S!
niemazachowaniakrętu,bowiemnacząstkędziałamomentsiłypola
centralnegowynikającyzfaktu,żekrętniejestliczonywzględemcentrum
pola,leczwzględemruchomegopunktur
!
=0.Dowiedziemy,żew
S!
krętjest
opisanyrównaniem
dJ!
dt
≡
dt
d
(r
!×p!)=r!×F!j
(1.9)
gdzieF
!
jestsiłąwywieranąprzezpolenacząstkę.Obliczamyją.Ponieważ
odległośćcząstkiodfizycznegocentrumpolaniezależyodukładuodniesienia,
przyjmujemyzałożenie,iżenergiapotencjalna
U
(
r
)jestskalaremwzględem
transformacjiGalileusza,zatem
U
(
r
)=
U
(
|
r
!
+
t
V
|
)
≡U!
(r
!jt
).Transformacja
tajestxi=x!i+tVi,astąd
∂x!k
∂xi
=δ
kj
i
gdzie
δi
k
=1dla
i
=
k
oraz
δi
k
=0dla
i̸
=
k
jestznanymsymbolemKroneckera.
Siłapotencjalnamawukładzie
S!
składowe(indeksyw
E3
piszemywedle
potrzebyugórylubudołu)
F
!i=−
∂U!
∂x!i
=−
∂xk
∂U
∂xk
∂x!i
=−
dU
dr
xk
r
δ
i=−
k
dU
dr
xi
r
=F
i.
