Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.6.Przedłużeniaporządków
35
Twierdzenie1.6.6.Załóżmy,żeL=K(√a)jestrozszerzeniemkwadrato-
wymciałauporządkowanego(KjP).PorządekPmożnaprzedłużyćdopo-
rządkuciałaLwtedyitylkowtedy,gdya∈P.Jeślia∈P,toporządekP
madokładniedwaprzedłużeniadoporządkuciałaL.Element√anależydo
dokładniejednegoznich.
Dowód.JeśliporządekP1ciałaLjestprzedłużeniemporządkuP,to
a=(√a)2∈P1∩K=P.
Przypuśćmyteraz,że
a∈P.CiałoLjestrozszerzeniemciałaK
opierwiastekwielomianunierozkładalnegof=X2−a.Łatwozauważyć,że
f(0)f(a+1)∈−P.Zatempoprzednietwierdzeniegwarantujenamistnienie
przedłużeniaP1porządkuPnaciałoL.JeśliσjestnietożsamościowymK-
automorfizmemciałaLjtoP2=σ(P1)jestrównieżporządkiemciałaLito
różnymodP1,gdyż√a∈P1⇐⇒−√a∈P2.Wystarczypokazać,żeP1oraz
P2sąjedynymiprzedłużeniamiporządkuP.PółpierścieńT=(P∪L∗2>jest
praporządkiemciałaLiX(L/T)jestzbioremwszystkichprzedłużeńpo-
rządkuPnaciałoL.Oczywiście,T⊆P1∩P2.Pokażemy,żeT=P1∩P2.
Niechx+y√a∈P1∩P2.Wtedyσ(x+y√a)=x−y√a∈P1∩P2oraz2x=
(x+y√a)+σ(x+y√a),x2−ay2=(x+y√a)·σ(x+y√a)∈P1∩P2∩K=P.
Zatemx+y√a=(2x)11[(x+y√a)2+(x2−ay2)]∈T.
PonieważzrównościT=P1∩P2wynika
[L
∗:T]<[L∗:P1]·[L∗:P2]=2·2=4j
aznierówności(1.6)otrzymujemy|X(L/T)|=2jwięcX(L/T)={P1jP2}.
I
Twierdzenie1.6.6pozwalaopisaćprzedłużeniaporządkównarozszerze-
niamultikwadratowe.
Wniosek1.6.7.Niech(KjP)będzieciałemuporządkowanym.
(1)Dladowolnycha1j...jan∈PporządekPmożnaprzedłużyćdo
porządkuciałaM=K(√a1j...j√an).Liczbatychprzedłużeńrówna
jest[M:K].
Niecha1j...jan∈Porazniech√aibędątakimiustalonymirozwią-
zaniamirównaniaX2−aijź=1j...jnjże[M:K]=2n.Wtedy
odwzorowanieΨ:{P/∈X(M):P/∩K=P}→{1j−1}nokre-
ślonewzoremΨ(P/)=(sgn
PI(√a1)j...jsgnPI(√an))jjestwzajemnie
jednoznaczne.
(2)JeśliA⊆P,toporządekPmożnaprzedłużyćdoporządkuciała
K(√A).
