Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.6.Przedłużeniaporządków
33
Dowód.
OznaczmyS={
il1
Σ
n
ai:n∈Nja1jj...jan∈ΠA}.Ponieważ
zdefinicjizbioruSwynika,żeS+S⊆S
i
S·S⊆S,więcSjest
półpierścieniemzawierającymzbiórA.Stąd(A>⊆S.Jednakżeskoro(A>
jestpółpierścieniem,ΠA⊆(A>isumaskończonejliczbyelementówzbioru
ΠAnależydo(A>,tzn.S⊆(A>.
I
Stwierdzenie1.6.2.JeśliAjestpodzbioremciałaK,tonastępującewa-
runkisąrównoważne:
(1)AzawierasięwpewnympraporządkuciałaKj
(2)AzawierasięwpewnymporządkuciałaKj
(3)0/∈(A∪K∗2>j
(4)−1/∈(A∪K∗2>oraz0/∈Aj
(5)(A∪K∗2>jestpraporządkiemciałaK.
Dowód.Implikacja(1)=⇒(2)jestoczywista,gdyżkażdypraporządek
możnarozszerzyćdoporządku.
(2)=⇒(3).Przypuśćmy,żeA⊆PdlapewnegoP∈X(K).Wtej
sytuacji(A∪K∗2>⊆Pispełnionyjestwarunek(3).
(3)=⇒(4).Jeśli−1=a1x2
1+...+anx2
ndlaa1j...jan∈{1}∪ΠAoraz
x1j...xn∈K∗jto0=1+a1x2
1+...+anx2
n∈(A∪K∗2>.Otrzymaliśmy
sprzeczność.
(4)=⇒(5).Przypuśćmy,że(A∪K∗2>niejestpraporządkiemciała
K.Oznaczato,że0∈(A∪K∗2>.Załóżmy,że0=a1x2
1+...+anx2
n
dlaa1j...jan∈{1}∪ΠAorazx1j...xn∈K∗.Wtedya1/=0oraz
−1=(a1a2)(a
11
1x
1x2)2+...+(a1an)(a11
11
1x
11
1xn)
2∈(A∪K∗2>jcojest
sprzecznez(4).
Implikacja(5)=⇒(1)jestoczywista.
I
Twierdzenie1.6.3.Załóżmy,żeKjestpodciałemciałaLorazPjest
porządkiemciałaK.Wtedynastępującewarunkisąrównoważne:
(1)PmożnaprzedłużyćdoporządkuQciałaLj
(2)0/∈(P∪L∗2>j
(3)−1/∈(P∪L∗2>j
(4)jeślia1x2
1+...+anx2
n=0
dlapewnych
a1j...an∈Poraz
x1j...xn∈Ljtox1=...=xn=0.
Dowód.Wystarczyzastosowaćstwierdzenie1.6.2,przyjmującA=P.I
