Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
32
1.Ciałaformalnierzeczywiste
ztychporządków.JeśliT/=P1∩P2∩P3jto[K∗:T/]<8orazx/∈T/
i1+x/∈T/∪xT/.Stądnapodstawieudowodnionejimplikacji(1)=⇒(3)
praporządekT/niejestwachlarzem,awięc[K∗:T/]>4.Zatem[K∗:T/]=
8jcojestsprzecznez(5).
I
Uwaga1.5.7.Warunek(3)wtwierdzeniu1.5.6jestrównoważnywarunko-
wi:
(3’)xT+yT=xT∪yTdladowolnychxjy∈K∗takich,żexy/∈−T.
Warunek(4)natomiastjestrównoważnywarunkowi:
(4’)IstniejeP∈X(K/T)taki,żexT+yT=xT∪yTdladowolnych
xjy∈P.
Zarównouogólnieniewarunku(3’),jakinowewarunkirównoważneCzytel-
nikznajdziewzadaniu21.
1.6.Przedłużeniaporządków
Jakzauważyliśmynapoczątkuniniejszegorozdziału,podciałociałaupo-
rządkowanegojestciałemuporządkowanym.Zatemniepustośćzbiorupo-
rządkówciałaimplikujeniepustośćzbioruporządkówpodciała,choćmoce
obuzbiorówmogąznaczniesięróżnić.Pewneporządkipodciałaniemają
przedłużeńnarozszerzenie,ainnemogąprzedłużaćsięnawielesposobów.
Problemprzedłużaniaporządkówomówimywtympodrozdziale.
NiepustypodzbiórSciałaKnazywamypółpierścieniem,jeślijestza-
mkniętyzewzględunadziałaniadodawaniaimnożenia,tzn.S+S⊆S
orazS·S⊆S.Łatwopokazać,żeprzekrójdowolnejniepustejrodziny
półpierścienizawartychwKjestpółpierścieniem.Oczywiście,każdyprapo-
rządekjestpółpierścieniem.Półpierścieńnatomiastjestpraporządkiem,gdy
niezawiera0orazzawieraK∗2.DladowolnegopodzbioruA⊆Kprzekrój
wszystkichpółpierścienizawierającychzbiórAnazywamypółpierścieniem
generowanymprzezzbiórAioznaczamy(A>.
Lemat1.6.1.JeśliAjestniepustympodzbioremciałaK,to
(A>={
Σ
il1
n
ai:n∈Nja1jj...jan∈ΠA}j
gdzieΠAjest
zbioruA.
zbiorem
wszystkichskończonychiloczynówelementów
