Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
30
1.Ciałaformalnierzeczywiste
że|K∗/ΣK∗2|=2noraz|X(K)|=2n11.Dolneoszacowanienatomiastre-
alizujesięm.in.wprzypadkuciałliczbowych(zob.komentarzpotwierdze-
niu10.4.6).Nierówność(1.6)dlan=1j2wyznacza|X(K/T)|dokładnie.
Wmiaręzwiększaniasięliczbynprzedział[nj2n11]zwiększagwałtownie
swojądługość.Okazujesię,żedlan>4niewszystkieliczbycałkowite
zprzedziału[nj2n11]sąwartościami|X(K/T)|(zob.zadanie36).
1.5.Wachlarze
Przedstawimyterazważnąklasępraporządkówzwanychwachlarzami.
Wkolejnychrozdziałachzobaczymy,żedecydująonewistotnysposób
ostrukturzenietylkozbioruwszystkichporządków,alerównieżobiektów
ściślezwiązanychzporządkami.
Definicja1.5.1.PraporządekTciałaKnazywamywachlarzem,jeślikażda
podgrupaSgrupyK∗taka,żeT⊆S,[K∗:S]=2oraz−1/∈S,jest
porządkiemciałaK.
Uwaga1.5.2.PraporządekTjestwachlarzemwtedyitylkowtedy,gdy
zbiórX(K/T)jestnajwiększyzmożliwych.Wszczególnościgdy|K∗/T|=
2njtoTjestwachlarzemwtedyitylkowtedy,gdy|X(K/T)|=2n11.
Ztejobserwacjiwynika,żekażdypraporządekT,takiże[K∗:T]<4(lub
równoważnie|X(K/T)|<2),jestwachlarzem.Takiewachlarzenazywamy
trywialnymi.
Uwaga1.5.3.JeśliTorazT/sąpraporządkamiciałaKjT⊆T/orazT
jestwachlarzem,toT/jestrównieżwachlarzem.
Przykład1.5.4.
JeśliK=R((X1))...((Xn))orazT=ΣK∗2jto
zwniosku1.2.5otrzymujemy|K∗/T|=2n+1oraz|X(K/T)|=2n.Zatem
TjjakrównieżkażdyinnypraporządekciałaKjjestwachlarzem.Faktten
pozostajeprawdziwy,gdyRzastąpimydowolnymciałemzjednymporząd-
kiem.
Przykład1.5.5.JeśliciałoKmatrzyporządki,to|K∗/ΣK∗2|=23(zob.
(1.7)).ZatemΣK∗2niejestwachlarzem.Przykłademtakiegociałajest
rozszerzenieciałaQopierwiastekwielomianunierozkładalnegof∈Q[X]
stopnia3jktórymatrzypierwiastkirzeczywiste(zob.twierdzenie3.3.5).
Zastanówmysię,jakopisaćnajmniejszymożliwynietrywialnywachlarz.
Przypuśćmy,żeTjestpraporządkiemciałaKtakim,że[K∗:T]=23.
