Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.5.Wachlarze
31
Wtymprzypadku3<|X(K/T)|<4.NiechP1jP2jP3będąparamiróż-
nymielementamizbioruX(K/T).GrupaK∗/Tzawieradokładniecztery
podgrupyoindeksie2,któreniezawierają−T.Sąnimi:Pi=kersgnP
ż
dlaź=1j2j3orazker(sgnP
1·sgnP
2·sgnP
3).ZatemTjestwachlarzem
wtedyitylkowtedy,gdyhomomorfizmsgnP
1·sgnP
2·sgnP
3jestsygnaturą
względempewnegoporządkuP4∈X(K/T).
Twierdzenie1.5.6.Załóżmy,żeTjestpraporządkiemciałaK.Następu-
jącewarunkisąrównoważne:
(1)Tjestwachlarzem.
(2)KażdapodgrupaSgrupyK∗taka,żeT⊆Si−1/∈S,jest
praporządkiemciałaK.
(3)KażdyelementzbioruK∗\(−T)jestT-sztywny.
(4)IstniejeporządekP∈X(K/T)taki,żekażdyelementzbioruPjest
T-sztywny.
(5)KażdypraporządekT/ciałaKtaki,żeT⊆T/oraz[K∗:T/]=8j
jestwachlarzem.
Dowód.(1)=⇒(2).JeśliSjestpodgrupągrupyK∗taką,żeT⊆Soraz
−1/∈S,toS=Π{G:S<G<K∗j[K∗:G]=2j−1/∈G}jgdyżgrupa
K∗/TjestprzestrzeniąliniowąnadciałemF2.Napodstawiezałożenia,S
mapostaćΠ{G:G∈X(K/T)},jestwięcpraporządkiem.
(2)=⇒(3).ZbiórS=T∪xTjestpodgrupągrupyK∗,T⊆Sj−1/∈S.
Założeniegwarantuje,żeSjestpraporządkiem,zatemT+xT⊆S.Oznacza
to,żexjestelementemT-sztywnym.
Implikacja(3)=⇒(4)jestoczywista.
(4)=⇒(1).NiechSbędziepodgrupągrupyK∗taką,żeT⊆Sj
[K∗:S]=2oraz−1/∈S.RozważmyT/=P∩S,gdziePjestporządkiem
występującymwwarunku(4).PodgrupaT/jestpraporządkiem,gdyżna
podstawiezałożeniax+y∈xT+yT=x(T+xyT)=x(T∪xyT)⊆T/
dlakażdychxjy∈T/.ZdefinicjiT/mamy[K∗:T/]<4,zatemT/
jesttrywialnymwachlarzem.StądS∈X(K/T/)jtzn.Sjestporządkiem
ciałaK.
Implikacja(1)=⇒(5)jestoczywista(zob.uwaga1.5.3).
(5)=⇒(3).Załóżmy(5)iprzypuśćmy,żeistniejeelementx∈K∗\(−T)j
któryniejestT-sztywny,czyli1+x/∈T∪xT.Wtedyelementy−xoraz
1+xnienależądoT.Również1+x11nienależydoTjgdyżwprzeciw-
nymrazie1+x=(1+x11)x∈xT.Napodstawiewniosku1.3.9możemy
znaleźćtakietrzyporządkiP1jP2jP3∈X(K/T)(niekoniecznieróżne),że
każdyzelementów−xj1+xj1+x11jestujemnywprzynajmniejjednym
