Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
28
1.Ciałaformalnierzeczywiste
którenazywamysygnaturąwzględemporządkuP.OgraniczeniefunkcjisgnP
doK∗jestepimorfizmemgrupowartościachwgrupie{−1j1}.Ponieważ
jądrotegoepimorfizmujestrówneP,więczgodnieztwierdzeniemoho-
momorfizmachgrup,dlakażdejpodgrupyH⊆PsygnaturasgnPindukuje
epimorfizm
K
∗/H−→{−1j1}jaHl−→sgn
P(a)j
któryrównieżoznaczamysymbolemsgnP.
Podobniejakwprzypadkuciałaliczbrzeczywistych,czyteżdowolnej
grupyuporządkowanej(zob.definicjaD.1.11),możemyzdefiniowaćwartość
bezwzględną|x|PwzględemporządkuPelementuxwzorem:
|x|P=sgnP(x)xjdlax∈K.
PozostawiamyCzytelnikowisprawdzenie,żeprawdziwesąznanewłasności
wartościbezwzględnej(zadanie23):
(1)|x|P=|−x|Pj
(2)|xy|P=|x|P·|y|Pj
(3)|x11|P=|x|11
P,gdyx/=0j
(4)||x|P−|y|P|P<|x+y|P<|x|P+|y|P.
JeśliYjestdowolnymzbioremniepustym,to{−1j1}Yoznaczagru-
pęfunkcjiprzekształcającychYwgrupę{−1j1}zmnożeniem„powarto-
ściach”.Sygnaturęwzględemzbioru∅/=Y⊆X(K)określamyjakoodwzo-
rowanie
SgnY:K
∗−→{−1j1}YjSgn
Y(a)(P)=sgnP(a)dlaP∈Yoraza∈K
∗.
Jesttohomomorfizmgrup,chociażtymrazemniemusitojużbyćepi-
morfizm.PonieważjądremhomomorfizmuSgnYjestpraporządekT=
Π{P;P∈Y},więcSgnYindukujemonomorfizmSgnY:K
∗/T→{−1j1}Y.
DladowolnegopraporządkuTciałaKzdefiniujmyodwzorowanie
ΦT:X(K/T)→Hom(K
∗/Tj{1j−1})jΦT(P)=sgn
PdlaP∈X(K/T).
Ponieważsygnaturawyznaczaporządekjednoznacznie,więcΦTjestod-
wzorowaniemróżnowartościowym.PozwalatotraktowaćzbiórX(K/T)ja-
kopodzbiórgrupyHom(K∗/Tj{1j−1})jazgodniezuwagą1.1.6.4,grupa
K∗/TmożebyćtraktowanajakoprzestrzeńliniowanadciałemF2jgrupa
Hom(K∗/Tj{1j−1})zaśjestprzestrzeniąsprzężonądoK∗/T(zmultipli-
katywnymzapisemwzbiorzewartościfunkcjonałówliniowych).
