Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.4.Sygnatury,oszacowanieliczbyporządków
27
Dowód.Ciałouporządkowanejestformalnierzeczywiste(zob.uwagi1.1.3
punkt2).JeślinatomiastciałoKjestformalnierzeczywiste,toΣK∗2jest
praporządkiem(zob.uwaga1.3.2.(2)).Wystarczywięczastosowaćstwier-
dzenie1.3.8,abyuzyskaćtezę.
I
Definicja1.3.11.ElementaciałaKnazywamyelementemtotalniedodat-
nim(totalnieujemnym),jeśliajestdodatni(ujemny)wkażdymporządku
ciałaKjtzn.a∈P(a/∈P)dlakażdegoP∈X(K).
Wprostzdefinicjiporządkuwynika,żewcieleformalnierzeczywistym
każdyelementzbioruΣK∗2jesttotalniedodatni.Zbiórelementówtotal-
niedodatnichciałaformalnierzeczywistegoKjestprzekrojemwszystkich
porządkówciałaKjzatemjestpraporządkiemciałaK.Drugietwierdzenie
Artina–Schreieramówi,jakiejpostacisąelementytegopraporządku.
Twierdzenie1.3.12(Artina–Schreiera).JeśliTjestpraporządkiemciała
formalnierzeczywistegoKjtoT=Π{P:P∈X(K/T)}.Wszczególności
ΣK∗2=Π{P:P∈X(K)}jatooznacza,żeelementciałaformalnie
rzeczywistegoKjesttotalniedodatniwtedyitylkowtedy,gdyjestsumą
kwadratówniezerowychelementówtegociała.
Dowód.Wystarczyudowodnićpierwszączęśćtezy,anastępniewstawić
T=ΣK∗2.Przypuśćmyzatem,żeTjestpraporządkiemciałaKorazT/
jestprzekrojemwszystkichporządkówP∈X(K/T).ZawieranieT⊆T/
jestoczywiste.Załóżmyteraz,żeistniejetakielementx∈T/,żex/∈T.Na
podstawiewniosku1.3.9istniejetakiporządekP∈X(K/T),że−x∈P.
Zatemx∈P∩−PdlapewnegoP∈X(K/T)jcodajesprzeczność.
I
Zwróćmyuwagęnafakt,żepojęcieelementutotalniedodatniegonie
tracisensu,gdyciałoKniejestformalnierzeczywiste.WtedyX(K)=∅
ipoprostukażdyelementmożemyuważaćzatotalniedodatni(również
totalnieujemny).Twierdzenie1.3.12mawtrywialnysposóbrównieżsens
dlaciał,któreniesąformalnierzeczywiste,wtedybowiemΣK∗2=K(zob.
zadanie2).
1.4.Sygnatury,oszacowanieliczbyporządków
KażdyporządekPciałaformalnierzeczywistegoKwyznaczaodwzorowanie
(
I
I
l
−1jgdya∈−P
0jgdya=0
1jgdya∈P
j
sgnP:K−→{−1j0j1}jsgnP(a)=
4
