Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Praporządki,twierdzeniaArtina–Schreiera
oraz
a=a(
a−x
a+x)
2
+x(
a+x)
2a
2
∈T[x].
25
ZatemT∪xT⊆T[x].Pozostajejeszczedosprawdzeniawarunek(3)defi-
nicjipraporządku,aleK∗2⊆T⊆T[x].
I
JeślipodzbiórTjestpraporządkiemciałaKjtonaogółT∪xT
zawierasięwsposóbwłaściwywT[x].WtymprzypadkuT∪xTjest
podgrupągrupyK∗jaleniejestpraporządkiem,gdyżT[x]jestminimalnym
praporządkiemzawierającymT∪xT.Możesięjednakzdarzyć,żezachodzi
równośćT[x]=T∪xT.Przyjrzyjmysiędokładniejtakimprzypadkom.
Definicja1.3.4.Załóżmy,żeTjestpraporządkiemciałaKorazx∈K∗.
ElementxnazywamyT-sztywnym,jeśliT[x]=T∪xT.JeśliT=ΣK∗2,to
elementT-sztywnynazywamysztywnym.
Uwagi1.3.5.
1.ElementypraporządkuTsąT-sztywne.
2.Elementyzbioru−TsąT-sztywnewtedyitylkowtedy,gdygrupa
K∗/Tjestdwuelementowa,tzn.Tjestporządkiem.Wynikatostąd,
żeT+(−T)=K∗.
3.ElementxjestT-sztywnywtedyitylkowtedy,gdy[T[x]:T]<2.
Przykład1.3.6.JeśliKjestciałemformalnierzeczywistym,towszystkie
elementybXdlab∈K∗ciałaL=K((X))sąsztywne.Rzeczywiście,ze
stwierdzenia1.2.1wynika,żejeślif∈ΣL∗2+bXΣL∗2jto
f=cX2k(1+...)+bX(dX2r(1+...))dlapewnychcjd∈ΣK∗2
ijeślik<rjtof∈ΣL∗2.Wprzeciwnymwypadkuf∈bXΣL∗2.
Przykład1.3.7.Jeśli[K∗:T]=4,tokażdyelementx∈K∗\(−T)jest
T-sztywny.Jesttooczywiste,gdyx∈T.Niechzatemx/∈T∪−T.Wtedy
T[x]jestpraporządkiemi
4=[K∗:T]=[K∗:T[x]]·[T[x]:T∪xT]·[T∪xT:T]=2·[T[x]:T∪xT]·2.
StądrównośćT[x]=T∪xT.
KilkaciekawychwłasnościelementówT-sztywnychCzytelnikznajdzie
wzadaniachdotegorozdziału.
