Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
1.Ciałaformalnierzeczywiste
teżjestprawdziwa.Jesttopodstawowyfakt,naktórymzbudowanazosta-
łateoriaciałuporządkowanych.Wliteraturzeznanesądwapodejściado
dowodutegorezultatu.Wjednymznichstosowanesąpraporządkiciała,
awdrugimrzeczywistedomknięcieciała.Praporządkibędąsiępojawiać
wwielukolejnychrozdziałach,zatemzastosowaniepierwszegopodejścia
iwprowadzeniaodrazupojęciapraporządkuwydajesięracjonalne.Rze-
czywistedomknięcieciałapojawisięwrozdzialetrzecimitamzwrócimy
uwagęnamożliwośćinnegodowodutwierdzeniaArtina–Schreiera.
Definicja1.3.1.PodzbiórT⊆K∗nazywamypraporządkiem,jeśli
(1)T+T⊆Tj
(2)T·T⊆Tj
(3)K∗2⊆T.
Uwagi1.3.2.Bezpośredniozdefinicjiwynikająnastępującefakty:
1.Każdyporządekjestpraporządkiem.
2.JeśliciałoKjestciałemformalnierzeczywistym,toΣK∗2jestprapo-
rządkiemzawartymwkażdyminnympraporządkuciałaK,zatemjest
najmniejszympraporządkiemciałaK.
3.JeśliciałoKmapraporządek,tomusionobyćformalnierzeczywiste.
4.KażdypraporządekTjestpodgrupągrupyK∗igrupailorazowaK∗/T
jestelementarną2-grupą.
5.PrzekrójdowolnejniepustejrodzinypraporządkówciałaKjestrównież
praporządkiemciałaK.
Następnylematwskazujemetodękonstrukcjinowegopraporządkuzda-
negopraporządku.
Lemat1.3.3.JeśliTjestpraporządkiemciałaKix∈K∗,lecz−x/∈Tj
topodzbiórT[x]=T+xT
jestrównieżpraporządkiemciałaKoraz
T∪xT⊆T[x].
Dowód.Sprawdźmynajpierw,żeT[x]⊆K∗.Gdybya+xb=0dlapew-
nychajb∈Tjto−x=ab(b11)2∈Tjcojestniezgodnezzałożeniemlematu.
Niechteraza1jb1ja2jb2będąelementamipraporządkuT.Tożsamości
(a1+xb1)+(a2+xb2)=(a1+a2)+x(b1+b2)j
(a1+xb1)·(a2+xb2)=(a1a2+x
2b1b2)+x(b1a2+a1b2)
pokazują,żeT[x]spełniawarunki(1)oraz(2)definicjipraporządku.
Dladowolnegoa∈Tmamy
x=a(
a+x)
2x
2
+x(
a−x
a+x)
2
∈T[x]
