Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.3.Praporządki,twierdzeniaArtina–Schreiera
23
NiechterazPbędzieporządkiemciałaK.WcieleK((X))zdefiniujmy
dwapodzbiory:
P+={
Σ
iln
∞
aiX
i∈K((X)):n∈Zjan∈P}j
P1={
Σ
iln
∞
aiX
i∈K((X)):n∈Zj(−1)nan∈P}.
Twierdzenie1.2.4.PodzbioryP+orazP1sąporządkamiciałaK((X)).
SąonejedynymiprzedłużeniamiporządkuPdoporządkuciałaK((X)).
Dowód.DowódpierwszejczęścitezypozostawiamyCzytelnikowijako
ćwiczenie.Przypuśćmyteraz,żeQjestporządkiemciałaK((X))takim,że
Q∩K=PorazX∈Q.Jeśliszeregfjestzapisanywpostaci(1.5),to
f∈Q⇐⇒a∈P=Q∩K,gdyżX∈Qoraz
1+a1X+a2X
2+...∈K((X))∗2⊆Q.
ZatemQ=P+.JeśliX∈−Q,toanalogicznerozumowanieprowadzido
równościQ=P1.
I
Wniosek1.2.5.NiechL=K((X1))...((Xn))będzieiterowanymciałem
szeregówformalnychnzmiennych.Wtedy
(1)L∗/L∗2∼
=(Z/2Z)n×K∗/K∗2.
(2)L∗/ΣL∗2∼
=(Z/2Z)n×K∗/ΣK∗2,gdyciałoKjestformalnierze-
czywiste.
(3)DowolnyporządekciałauporządkowanegoKmożnaprzedłużyćna2n
sposobówdoporządkuciałaL.
PonieważpierścieńwielomianówK[X]możnawnaturalnysposóbtrak-
towaćjakopodpierścieńciałaK((X)),więcciałofunkcjiwymiernychK(X)
równieżmożnatraktowaćjakopodciałociałaK((X)).ZatemK(X)∩P+
iK(X)∩P1sąrównieżporządkamiciałaK(X)itoróżnymiodtych
zdefiniowanychwprzykładzie1.1.14zpoprzedniegopodrozdziału.
1.3.Praporządki,twierdzeniaArtina–Schreiera
Wpierwszympodrozdzialezauważyliśmy,żejeśliciałomaporządek,tojest
onoformalnierzeczywiste.ArtiniSchreierpokazali,żeimplikacjaprzeciwna
