Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.Porządkiciałaszeregówformalnych
21
jestporządkiemciałaQ(X).Zauważmy,żejeślia/=b,toPł/=Pb.Rzeczy-
wiście,jeślia<borazc∈(ajb)∩QjtoX−c∈Pb\Pł.Ponieważzbiórliczb
przestępnychjestnieprzeliczalny,więcciałoQ(X)jchociażprzeliczalne,ma
nieprzeliczalniewieleporządków.
Wielokrotniebędziemyporównywaćciałauporządkowane.Oilewka-
tegoriiciałwłaściwymimorfizmamisązanurzenia,otylewkategoriiciał
uporządkowanychodmorfizmówmusimywymagać,abyrespektowałyrów-
nieżporządkitychciał.Stądnastępującadefinicja.
Definicja1.1.16.Niech(KjP)i(LjR)będąciałamiuporządkowanymi
orazniechΦ:K−→Lbędziezanurzeniemciał.Mówimy,żeΦjest
zanurzeniemrosnącymlubzachowującymporządek,jeżeliΦ(P)⊆R.
WarunekΦ(P)⊆Rwystępującywprzytoczonejdefinicjimożnasfor-
mułowaćnakilkarównoważnychsposobów(patrzzadanie30).
1.2.Porządkiciałaszeregówformalnych
Ciałaomawianeponiżej,chociażprostewkonstrukcji,dostarczająwielucie-
kawychprzykładów.Tutajograniczymysięjedyniedoopisaniawszystkich
porządkówtychciał.
NiechKbędzieciałemorazniechK((X))będzieciałemszeregówfor-
malnych(nadciałemK).ElementamiciałaK((X))sąszeregi
∞
anX
n+an+1Xn+1+...=
Σ
aiX
ijn∈Zjai∈K.
iln
SzeregtenwygodniejestczasemzapisywaćwpostaciΣaiXijpamiętając
jednak,żeistniejen∈Ztakie,żeai=0dlaź<n.
DziałaniadodawaniaimnożeniawK((X))określonesąwzorami:
ΣaiXi+ΣbiXi=Σ(ai+bi)Xij
iln
Σ
∞
aiX
i·
ilm
Σ
∞
biX
i=
iln+m
∞
i1m
Σ
ciX
ijgdzieci=
Σ
akbi1k.
kln
CiałoK((X))jestciałemułamkówpierścieniaK[[X]]szeregówformalnych,
∞
któregoelementamisąszeregipostaci
Σ
aiXi.CiałoKmożemytrakto-
ilo
waćjakopodciałociałaK((X))jutożsamiającelementa∈Kzszeregiem
aXo+0X1+...
.
