Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.Porządkiciał
19
wcześniejszejuwagiP=P/.Jeślipjq∈Qsądwomaróżnymiliczbami
pierwszymi,topQ∗2/=qQ∗2,bopq/∈Q∗2.Topokazuje,żeliczbypierwsze
wyznaczająnieskończeniewieleklaskwadratów,zatemgrupaQ∗/Q∗2jest
nieskończona.
Przykład1.1.8.CiałoliczbrzeczywistychRjestuporządkowane,zbiór
P=R∗2jestporządkiemciałaRoraz|R∗/R∗2|=|R∗/P|=2.Podobnie
jakpoprzednio,pokazaćmożna,żejesttojedynyporządekciałaR.
Przykład1.1.9.Jeślidbędziebezkwadratowąliczbąnaturalną,tozbiór
P=Q(√d)∩R∗2jestporządkiemciałaQ(√d).Niejesttojedynyporządek
tegociała,gdyżzbiórP/={a+b√d∈Q(√d):a−b√d∈P}jestrównież
porządkiem.Tedwaporządkisąróżne,gdyż√d∈P,natomiast√d/∈P/.
Zachęcamyczytelnikadopokazania,żegrupaklaskwadratówciałaQ(√d)
jestnieskończona.
Przypomnijmy,żepierwiastkiemkwadratowymelementuaciałaK(ozna-
czenie√a)nazywamytakielementxnależącydoKlubjegorozszerzeniaL,
żex2=a.Pierwiastekkwadratowynaogółniejestwyznaczonyjednoznacz-
nie.JeślijednakLjestciałemuporządkowanym,towarunek√a>0określa
pierwiastekjednoznacznie.Powyższyprzykładpokazuje,żedlapewnychele-
mentówakażdezrozwiązańrównaniax2=ajprzyodpowiednimwyborze
porządkuwrozszerzeniuciałaKjmożebyćpierwiastkiemkwadratowym
wcieleuporządkowanym.
Przykład1.1.10.JeśliσjestzanurzeniemciałaFwciałouporządkowa-
ne(KjP),toσ11(P)jestporządkiemciałaF.Wszczególności,jeżeliσ
jestautomorfizmemciałauporządkowanego(KjP),toσ(P)jestrównież
porządkiemciałaK.Zauważmy,żeporządekP/wpoprzednimprzykładzie
mapostaćσ(P),gdziePjestporządkiemciałaQ(√d)indukowanymprzez
porządekciałaR,natomiastσ–nietożsamościowymautomorfizmemciała
Q(√d).
Przykład1.1.11.CiałoliczbzespolonychCniejestformalnierzeczywiste,
bo−1=ź2.ZatemciałoCniemożebyćciałemuporządkowanym.Ponieważ
każdaliczbazespolonamazespolonypierwiastekkwadratowy,więcC∗=
C∗2,astąd|C∗/C∗2|=1.
Przykład1.1.12.Ciałoskończoneniemożebyćuporządkowane,gdyżma
charakterystykęróżnąod0.
