Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
1.Ciałaformalnierzeczywiste
2.JeśliQjestporządkiemciałaLiKjestpodciałemciałaL,toP=K∩Q
jestporządkiemciałaK.Zatempodciałociałauporządkowanegojest
ciałemuporządkowanym.
PorządekPwystępującywdrugiejczęścipoprzedniejuwaginazywamy
porządkiemciałaKindukowanymprzezporządekQjnatomiastporządek
QnazywamyprzedłużeniemporządkuPnaciałoL.Ciałouporządkowane
(LjQ)nazywamyrozszerzeniemciałauporządkowanego(KjP)jnatomiast
ciałouporządkowane(KjP)nazywamypodciałemciałauporządkowanego
(LjQ).
Uwagi1.1.6.Zanotujmyjeszczekilkauwagdotyczącychgrupymultiplika-
tywnejciałaKipewnychgrupzniązwiązanych.
1.Załóżmy,żeHjestpodzbioremzawartymwK∗takim,żeH·H⊆H.
JeśliK∗2⊆H,toHjestpodgrupągrupyK∗.Wynika,tozrówności
a11=a(a11)2∈Hdlakażdegoa∈H.
2.JeśliA=a2
1+...+a2
niB=b2
1+...+b2
msądowolnymielementamizbioru
ΣK∗2,toAB=(a1b1)2+...+(a1bm)2+(a2b1)2+...+(anbm)2∈ΣK∗2.
Oczywiście,K∗2⊆ΣK∗2,zatemΣK∗2jestpodgrupągrupyK∗.
3.JeśliHjestpodgrupągrupyK∗zawierającąK∗2,togrupailorazowa
K∗/Hjestelementarną2-grupą,tzn.(aH)2=Hdlawszystkicha∈K∗.
GrupyilorazoweK∗/K∗2orazK∗/ΣK∗2nazywamyodpowiedniogrupą
klaskwadratóworazgrupąklassumkwadratówciałaK.
4.Każdąelementarną2-grupę(Gj·)możnawyposażyćwstrukturęprze-
strzeniliniowejnadciałem2-elementowymF2jtraktującmnożeniejako
dodawaniewektorówtejprzestrzeniidefiniującmnożeniewektoraa∈G
przezskalarS∈F2wzoremS·a=aE.JeśligrupaGjestskończo-
na,tojakoprzestrzeńliniowamaskończonąbazęiskończonywymiar.
JeśliwymiarjestrównynjtoprzestrzeńGjestizomorficznazFn
2.
WszczególnościrządgrupyGjestrówny2n.Oczywiście,homomorfizm
elementarnych2-grupjestrównocześnieprzekształceniemliniowym.
Przyjrzyjmysięterazkilkuprzykładom.
Przykład1.1.7.CiałoliczbwymiernychQjestuporządkowane.Porząd-
kiemjestzbiórP={m
n∈Q:mjn∈N},wyznaczającynaturalneupo-
rządkowanieciałaliczbwymiernych.Zauważmy,żekażdądodatniąliczbę
wymiernąm
nmożemyprzedstawićwpostacisumymnkwadratówwnastę-
pującysposób:m
n=mn
n2=(1
n)2+...+(1
n)2.Oznaczato,żeP=ΣQ∗2,
astądwynika,żePjestjedynymporządkiemciałaQ.Istotnie,gdyby
P/⊆Q∗byłoinnymporządkiem,toP=ΣQ∗2⊆P/inapodstawie
