Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
1.Ciałaformalnierzeczywiste
Zrelacją<związanajestrelacja„słabej”nierówności:
a<b⇐⇒(a<bluba=b).
Własnościrelacji<mająoczywiścieswojeodpowiednikidlarelacji<j
np.a<bic<b=⇒a+c<b+d.
Porządekciałauporządkowanego(Kj<)wyznaczazbiórelementówdo-
datnichP={a∈K:0<a}.Elementyzbioru−P={−a∈K:a>0}=
{a∈K:a<0}nazywamyujemnymi.Łatwozauważyć,że1jestelemen-
temdodatnimwkażdymuporządkowanymciele(Kj<).Multiplikatywną
grupęelementówniezerowychciałaKoznaczamyK∗,apodgrupyzłożone
zkwadratówiskończonychsumkwadratówniezerowychelementówciałaK
–odpowiednioK∗2orazΣK∗2(zob.uwagi1.1.6.(2)).
Wdalszychrozważaniachczęstokorzystaćbędziemyznastępujących
własnościzbioruP.
Lemat1.1.2.Jeśli(Kj<)jestciałemuporządkowanymiPjestzbiorem
elementówdodatnichwporządku<jto:
(1)P+P⊆Pj
(2)P·P⊆Pj
(3)P∪−P=K∗j
(4)P∩−P=∅j
(5)K∗2⊆Pj
(6)ΣK∗2⊆Pj
(7)PjestpodgrupągrupyK∗oraz[K∗:P]=2.
Dowód.Jeśliajb∈P,to0<aj0<b.Zdefinicjiciałauporządkowa-
negoorazwłasności(1.2)wynikająnierówności0<a+boraz0<ab.
Zatema+bjab∈P.Pokazaliśmy(1)oraz(2).Własności(3)oraz(4)wy-
nikajązdefinicjizbioruPorazwarunkutrichotomii.Równośća2=(−a)2
wrazzwłasnościami(1),(2)oraz(3)uzasadniają(5)i(6).Abyudowodnić
(7),zauważmy,żejeślia∈P,toa11=a(a11)2∈P.ZatemPjestpodgrupą
grupyK∗oindeksierównym2,cowynikaz(3)oraz(4).
I
Uwagi1.1.3.Ciałouporządkowanemadwieważnecechy,którewyróżniają
jewrodziniewszystkichciał:
1.Sumajedynekwcieleuporządkowanymniemożebyćrównazero,gdyż
jestzawszeelementemdodatnim,zatemciałouporządkowanemacha-
rakterystykęrówną0.
2.WcieleuporządkowanymKelement−1jestujemny,więc−1/∈ΣK∗2.
