Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
34
1.Ciałaformalnierzeczywiste
Wniosek1.6.4.Przyjmijmyoznaczeniazpoprzedniegotwierdzenia.Porzą-
dekPmożnaprzedłużyćdoporządkuciałaLwtedyitylkowtedy,gdydla
dowolnegon∈Norazdladowolnychx1j...jxn∈LporządekPmożna
przedłużyćdoporządkuciałaK(x1j...jxn).
Dowód.Wynikazrównoważnościwarunków(1)oraz(4)poprzedniego
twierdzenia.
I
Wnastępnymtwierdzeniuzajmiemysięprzedłużeniamiporządkuciała
uporządkowanegonajegoskończonerozszerzenie.Ponieważciałouporząd-
kowanemacharakterystykęrównązero,więcnapodstawietwierdzeniaAbe-
lakażdeskończonerozszerzenietakiegociałajestrozszerzeniemprostym.
Twierdzenie1.6.5.Niech(KjP)będzieciałemuporządkowanymorazniech
L=K(o),gdzieojestpierwiastkiemwielomianunierozkładalnegof∈K[X].
Jeślif(a)f(b)∈−Pdlapewnychajb∈K,toporządekPmożnaprzedłużyć
dopewnegoporządkuciałaL.
Dowód.Zastosujemyindukcjęwzględemn=stf.Przypadekn=1jest
oczywisty.Przypuśćmyteraz,żen>1oraztwierdzeniejestprawdziwe
dlarozszerzeństopnia<n.Załóżmy,żeporządkuPniemożnaprzedłu-
żyćdoporządkuciałaL.Zatemnapodstawiepoprzedniegotwierdzenia
−1∈(P∪L∗2>.PonieważK(o)∼
=K[X]/(f),więcistniejąp1j...jpm∈P
orazgjf1j...jfm∈K[X]jstfi<ndlaź=1j...jmtakie,że
p1f
1+...+pmf
2
m=−1+gf.
2
(1.8)
Zrówności(1.8)wynika,żestg<n−1orazdlaajbspełniającychzałożenie
twierdzeniamamyg(a)f(a)∈P,g(b)f(b)∈Pig(a)g(b)∈−P.Wielomian
gmożebyćrozkładalnynadciałemK,alewjegorozkładzienaczynnikinie-
rozkładalnemusiistniećczynnikh∈K[X]taki,żeh(a)h(b)∈−P.Rozważ-
myciałoL/=K(;),gdzie;jestpierwiastkiemwielomianuh.Ponieważsto-
pieńhjestmniejszyodn,więcnapodstawiezałożeniaindukcyjnegoporzą-
dekPmożnaprzedłużyćdopewnegoporządkuciałaL/.Jednakpowstawie-
niuX=;dorównania(1.8)otrzymujemyp1f2
1(;)+...+pmf2
m(;)=−1
wcieleL/,tzn.ciałoL/niejestformalnierzeczywiste.Otrzymanasprzecz-
nośćkończydowódtwierdzenia.
I
Zastosujemypowyższetwierdzeniedozbadaniaprzedłużeńporządków
narozszerzeniakwadratowe.
