Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.3.Funkcjeelementarne
41
żefi(r)1łr<y0(fi(I))11,skądfi(r+I)1fi(r)fi(I)<y0.Ozna-
czato,żeI<I+r∈AiprzeczydefinicjiliczbyI.Drugizmożliwych
przypadkówrównieżprowadzidosprzeczności.Istotnie,gdybyI∈B,
tofi(I)>y0iistniałabydodatnialiczbawymiernartaka,żefi(r)1
łr<fi(I)y011(zob.lemat2.1).Stądfi(I−r)1fi(I)(fi(r))11>y0.
Oczywiście,namocydefinicjikresu,istniejeliczbax∈Ataka,że
x>I−r,skądy0<fi(I−r)<fi(x)<y0,coniejestmożliwe.
Dowódjestwięczakończony.
Wniosek2010Dladowolnegoł∈(0,1)funkcjagi:R→R,dana
wzorem
gi(x):1f1
a
(−x),
x∈R,
(zob.Twierdzenie2.2)manastępującewłasności:
10gi(x+y)1gi(x)gi(y)dlawszystkichx,y∈R,
20gi(x)>0dlawszystkichx∈R,
30gi(r)1łrdlawszystkichr∈Q,
40gijestsilniemalejąca,
50gi(R)1(0,∞).
Dowód0Mamygi(x+y)1f1
a
(−x−y)1f1
a
(−x)lf1
a
(−y)1
gi(x)gi(y)dlax,y∈R.Gdyrjestliczbąwymierną,wówczas
gi(r)1f1
a
(−r)1(
1
ł)
1r
1łr.
Gdyx,y∈R,x<y,wówczas−y<−x,więcgi(y)1f1
a
(−y)<
f1
a
(−x)1gi(x).Wkońcugi(R)1f1
a
(−R)1f1
a
(R)1(0,∞).Dowód
jestwięczakończony.
Wobecfaktu,żezarównofunkcjefi,ł∈(1,∞),jakifunkcjegi,
ł∈(0,1)stanowiąjedynemonotonicznerozszerzeniefunkcjiQ3r→
łr∈R,zzachowaniempodstawowejwłasności(exp),naturalnejestprzy-
jęcietradycyjnegooznaczenia:
łx:1fi(x),
oraz
łx:1gi(x),
x∈R
dlał∈(1,∞)
x∈R
dlał∈(0,1).
