Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.3.Funkcjeelementarne
39
iograniczonyzgóry(np.przezliczbęł[x]+1).Namocyaksjomatuciągło-
ściistniejekresgórnysupAxzbioruAx.Wzór
fi(x):1supAx,
x∈R,
poprawnieokreślawięcfunkcjęfi:R→R.PonieważAxCAy,oile
tylkox<y,więcfunkcjafijestrosnąca.Oczywiściefi(r)1łrdlar
wymiernych;wszczególnościfi(1)1ł.Pozostajewięcwykazać,żefi
spełniarównanie(exp).
Wtymceluustalmydowolnieliczbyx,y∈Roraz5>0.Namocy
lematu2.1istniejedodatnialiczbawymiernar0taka,że
łro<1+5.
Niechr∈(x−1
2r0,x)orazw∈(y−1
2r0,y)będądowolniewybranymi
liczbamiwymiernymi.Wówczasr<x<r+1
2r0orazw<y<w+1
2r0,
więc
łr1fi(r)<fi(x)<fi(r+
1
2
r0)1łr+1
2ro
oraz
łw1fi(w)<fi(y)<fi(w+
1
2
r0)1łw+1
2ro.
Wrezultacie:
łr+w<fi(x)fi(y)<łr+w+ro.
(2.14)
OczywiścieQ3r+w<x+y,więcłr+w<fi(x+y).Gdyby
zachodziłanierównośćfi(x+y)>łr+w+ro,istniałabyliczbawymiernaρ
niewiększaodx+yitaka,żełρ>łr+w+ro,skądr+w+r0>x+y>
ρ>r+w+r0.Sprzecznośćtadowodzi,żełr+w<fi(x+y)<łr+w+ro,
i,wkonsekwencji,
ł
1r1w1ro<
fi(x+y)
1
<ł
1r1w.
Mnożącstronaminierówności(2.14)i(2.15),otrzymujemy
1+5
1
<ł
1ro<
fi(x)fi(y)
fi(x+y)
<łro<1+5,
(2.15)
