Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
40
skąd
Rozdział2.Liczbyrzeczywisteizespolone.Funkcjeelementarne
−5<
fi(x)fi(y)
fi(x+y)
−1<5,
co,wobecdowolnościwyboruliczby5>0,oznacza,żefi(x)fi(y)1
fi(x+y)ikończydowódtwierdzenia.
Twierdzenie2030Każdazfunkcjifi,ł∈(1,∞),októrychmowa
wtwierdzeniu2.2,manastępującewłasności:
10fi(x)>0dlawszystkichx∈R,
20fi(r)1łrdlawszystkichr∈Q,
30fijestsilnierosnąca,
40fi(R)1(0,∞).
Dowód0Owłasnościach10i20mówilemat2.2.Dladowoduwłasności
30ustalmydowolnieliczbyx,y∈Rtakie,żex<y.Wówczast:1y−x
jestdodatnie,istniejezatemliczbawymiernartaka,że0<r<t,skąd
1<łr1fi(r)<fi(t).Wkonsekwencji,
fi(y)1fi(x+t)1fi(x)fi(t)>fi(x),
codowodzi,żefunkcjafijestsilnierosnąca.
Dowódwłasności40poprowadzimyniewprost.Przypuśćmy,żeist-
niejeliczbay0∈(0,∞)taka,żefi(x)/1y0dlakażdegox∈R.Niech
n∈Nbędzietakduże,byfi(−n)1ł1n<y0<łn1fi(n),wówczas
−n∈A:1{x∈R:fi(x)<y0}
oraz
n∈B:1{x∈R:fi(x)>y0}.
ZbioryAiBsąwięcniepuste.Ponadto,dlakażdychliczbx∈Aoraz
y∈Bmamyx<y.Istotnie,gdybyx>y,toy0<fi(y)<fi(x)<y0,conie
jestmożliwe.Wszczególności,liczbanograniczazbiórAzgóry;istnieje
więcsupA1:I.Zauważmyjeszcze,żeA∪B1R.Możliwesąwięc
tylkodwaprzypadki:I∈AlubI∈B.Wpierwszymprzypadkumamy
fi(I)<y0inamocylematu2.1istniejedodatnialiczbawymiernartaka,
