Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
38
Rozdział2.Liczbyrzeczywisteizespolone.Funkcjeelementarne
Dowód010Jednoznaczność0Niechf,g:R→Rbędądwomarozwią-
zaniamirównania(exp)takimi,żef(1)1g(1)1ł∈(1,∞).Ustalmy
dowolniex0∈Roraz5>0.Namocylematu2.1istniejer0∈Q∩(0,∞)
takie,że
łro<1+5.
Niechrbędziedowolnieustalonąliczbąwymiernązprzedziału(x0−
1
2r0,
x0+1
2r0)(zob.własność2.3),wówczas
r−
1
2
r0<x0<r+
1
2
r0,
więcnamocylematu2.2imonotonicznościfunkcjifmamy
łr1
2ro1f(r−
1
1
2
r0)<f(x0)<f(r+
1
2
r0)1łr+1
2ro
i,analogicznie,
łr1
1
2ro<g(x0)<łr+
1
2ro
lub,równoważnie,
ł
1r11
2ro<
g(x0)
1
<ł
1r+1
2ro.
Mnożącstronaminierówności(2.12)i(2.13),otrzymujemy
1+5
1
<ł
1ro<
f(x0)
g(x0)
<łro<1+5.
Stąd
−5<
1+5
−5
<
f(x0)
g(x0)
−1<5,
(2.12)
(2.13)
co–wobecdowolnościwyboruliczby5>0–oznacza,że
f(xo)
g(xo)11,tzn.
f(x0)1g(x0).Ponieważpunktx0∈Rbyćdowolnieustalony,wnosimy
stąd,żef1g.
20Istnienie0Ustalmydowolnieliczbęł∈(1,∞).Zauważmy,że
dlakażdegox∈RzbiórAx:1{łr:r∈Q∩(−∞,x]}jestniepusty
(bowprzedziale(−∞,x]istniejąliczbywymierne;zob.własność2.3)
