Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
36
Rozdział2.Liczbyrzeczywisteizespolone.Funkcjeelementarne
Funkcjewykładniczeilogarytmiczne0Wdalszymciąguzakładamy
znajomośćpojęciaiwłasnościdziałańnapotęgachowykładnikuwymier-
nym.Zanimprzejdziemydozdefiniowaniafunkcjiwykładniczej,wykaże-
mydwalematy.
Lemat2010Dladowolnegoł∈(1,∞)oraz5∈(0,∞)istnieje
r∈Q∩(0,∞)takie,żełr<1+5.
Dowód0Ustalmydowolnieliczbył∈(1,∞)oraz5∈(0,∞).Zpew-
nikaArchimedesa(zob.własność2.2)wynika,żeistniejeliczbanaturalna
qtaka,żeł<1+q5.ZnierównościBernoulliegownioskujemy,że
ł<1+q5<(1+5)q,więcbiorącr:11
q,dostajemyżądanąnierówność.
Lemat2020Jeżlifunkcjaf:R→Rspełniarównanie
f(x+y)1f(x)f(y)
(exp)
dlawszelkichx,y∈Rorazł:1f(1)/10,tofjeststaledodatnia
oraz
f(r)1łr
(2.11)
dlawszystkichrwymiernych.
Dowód0Kładący1xwrównaniu(exp),otrzymujemy
f(2x)1(f(x))
2>0,x∈R.
Gdybyistniałotakiex0∈R,żef(x0)10,toprzyjmujący1x0wrów-
naniu(exp),dostalibyśmyrówność
f(x+x0)1f(x)f(x0)
spełnionądlawszystkichliczbrzeczywistychx.Oznaczałobyto,żefunk-
cjafjestzerowawbrewzałożeniu,żef(1)/10.Dowodzito,że
f(x)>0
dlawszelkichx∈R.
