Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.3.Funkcjeelementarne
37
Wszczególności,f(0)11;istotnie,biorącx1y10wrównaniu
(exp),widzimy,żef(0)1(f(0))2,co,wobecdodatniościf,dajerówność
f(0)11.
Abywykazaćdrugączęśćtezy,zauważmy,żedladowolnejliczby
naturalnejnidowolnegox∈Rzachodzirównośćf(nx)1(f(x))n
(natychmiastowaindukcja).Wszczególności,wziąwszytutajx11,do-
stajemy
f(n)1łn
dlawszelkichn∈N∪{0}.
Ponieważdladowolnegoq∈Nmamy
ł1f(1)1f(ql1
q)1[f(1
q)]
q
,
więcrówność(2.11)jestprawdziwadlawykładnikówrpostaci1
q.Wkon-
sekwencjidladowolnychliczbp∈N∪{0}iq∈Nmamy
f(p
q)1f(pl1
q)1(f(1
q))
p
1(ł
1
q)
p
1ł
p
q.
Związek(2.11)zatemzachodzidlawszelkichr∈Q∩[0,∞).Kładąc
y1−xwrównaniu(exp),dostajemy11f(0)1f(x)f(−x)dlakażdego
x∈R,skąd
f(−x)1
f(x)
1
dlawszelkichx∈R.
Wrezultaciedladowolnegor∈Q∩(0,∞)mamy
f(−r)1
f(r)
1
1
łr
1
1ł
1r;
takwięczwiązek(2.11)zachodzidlawszelkichrwymiernych,conależało
udowodnić.
Twierdzenie2020Dladowolnegoł∈(1,∞)istniejedokładniejedna
funkcjarosnącafi:R→Rspełniającarównanie(exp)itaka,że
fi(1)1ł.
