Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
26
8.Podstawymechanikikwantowejistrukturaelektronowaatomów
dlapewnychprzedziałówwartościzmiennejx,natomiastgęstośćprawdopodobieństwa
ψ2jestoczywiściezawszenieujemna.Dlaniektórychwartościzmiennejxwartośćψ
wynosizero;miejscazerowefunkcjifalowejnazywamyjejwęzłami.Możnazauważyć,
żedladanejwartościnxliczbawęzłówfunkcjifalowejwynosi(nx–1).Równieżwin-
nychzagadnieniachkwantowomechanicznychwartościliczbkwantowychokreślająm.in.
liczbęwęzłówfunkcjifalowych.
Każdejwartościnxodpowiadainnawartośćwłasnaenergiiiinnafunkcjawłasna
cząstkiwjednowymiarowympudle.Dlategodowolnedwiefunkcjewłasneoróżnych
nx(np.nx=ninx=m)powinnybyćortogonalne(por.D.6).Istotnie,oznaczając,jak
przywyprowadzeniuwzoru(8.63),πx/a=β,mamy:
∫
ψ∗
nψmdx=
a
2
∫
a
sin
nπx
a
sin
mπx
a
dx=
2π
a2
∫
π
sin(nβ)sin(mβ)dβ=0
a
0
0
0
(8.66)
Rozpatrzonymodelcząstkiwpudlemaznaczenienietylkojakoprostyprzykład
kwantowomechanicznegoopisuukładu.Napodstawietegomodelurozważasięwprzy-
bliżonysposóbpewnerealneukłady.Naprzykładzwzoru(8.65)możnaobliczaćwnie-
którychprzypadkach(barwnikipolimetinoweiin.)dozwolonepoziomyenergetyczne
elektronówπporuszającychsięquasi-swobodniewzdłużukładuskoniugowanychwią-
zańwłańcuchachpolienowych;długośćpudłaazależywtedyoddługościłańcucha
wiązań,awięcodrozmiarówcząsteczki(H.Kuhn,N.S.Bayliss,1948).
ZnajomośćrozwiązaniarównaniaSchr¨
odingeradlacząstkiwjednowymiarowym
pudlepotencjałuułatwiadyskusjęprzypadkuogólniejszego,wktórymcząstkaomasie
muwięzionajestwpudletrójwymiarowym.Przyjmujemy,żepudłotojestnaczyniem
prostopadłościennym,ajednozjegonarożyjestpoczątkiemprostokątnegoukładuosi
współrzędnychx,y,z.Długościkrawędzipudławkierunkachtychosiwynosząodpo-
wiednioa,b,c.Podobniejakdlacząstkiwjednowymiarowympudleprzyjmujemy,że
wewnątrzpudłaenergiapotencjalnacząstkiV=const=0.ZrównaniaSchr¨
odingera
(8.39)otrzymujemywięcwyrażenie
–
2m
h2
¯
∂x2
∂2
+
∂y2
∂2
+
∂z2ψ=Eψ
∂2
(8.67)
Wyprowadzimyterazcałkowicieogólną,użytecznązależność,którąnastępniewykorzy-
stamydonatychmiastowegootrzymaniarozwiązańpowyższegorównania.Jeżelihamil-
tonianjestsumąwyrażeńzależącychodróżnychzmiennych
H(x1,...,xn)=
ˆ
Σ
i=1
n
Hi(xi)
ˆ
(8.68)
ijednocześniefunkcjeψi(xi)sąfunkcjamiwłasnymihamiltonianówcząstkowychˆ
Hi
Hi(xi)ψi(xi)=Eiψi(xi)
ˆ
(8.69)
