Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
30
8.Podstawymechanikikwantowejistrukturaelektronowaatomów
8.3.Atomwodoruijonywodoropodobne
8.3.1.RównanieSchr¨
odingeradlaatomuwodoru
ijonówwodoropodobnych
Zastosujemyobecniepoznanezasadymechanikikwantowejdoopisunajprostszych
układówatomowychzłożonychzjądraatomowego(omasieMiładunku+Ze)ijednego
elektronu(omasiemeiładunku–e);należądonichatomwodoruijonywodoropodobne
(p.8.1.3).
Rozważanyukładskładasięzdwucząstek,naskutekczegoopisującagowzupeł-
nościfunkcjafalowazależyzarównoodwspółrzędnychelektronu(x1,y1,z1)jakijądra
(x2,y2,z2),awhamiltonianiepowinnywystąpićosobneczłonyodpowiadająceenergii
kinetycznejjądraielektronu.Jednakżeenergiapotencjalnarozważanegoukładuzależy
jedynieododległościelektronuodjądra,tj.odwspółrzędnychwzględnychx=x1–x2,
y=y1–y2,z=z1–z2,gdyżwynosiona[por.wyprowadzeniewzoru(8.21)]:
V=–
4πs0
1
Ze2
r
(8.83)
przyczymr=x2+y2+z2.Jeśliinteresująnastylkostanyenergetyczneelektronu
watomie(arezygnujemyzopisutranslacyjnegoruchuatomujakocałości),towystarczy
rozważaćruchelektronuwpolunieruchomegojądra,któreznajdujesięwpunkcie
stanowiącympoczątekukładuwspółrzędnychx,y,z.Ściślejnależałobyobraćpoczątek
układuwspółrzędnychwśrodkumasyukładujądro–elektron,jednakżewobecM≫me
popełnionybłądjestnieznaczny.Fakt,żeMniejestnieskończeniedużewporównaniu
zme,uwzględniamy,wprowadzajączamiastmasyelektronumemasęzredukowanąµ.
Wtensposóbsprowadzamyproblematomuwodoru(czyjonuwodoropodobnego)do
problemujednejcząstki—elektronuomasiezredukowanejµ[danejwzorem(8.23)],
poruszającegosięwpolukulombowskimjądraiopisanegofunkcjąfalowązależnątylko
odwspółrzędnychx,y,z.Dlatakiegoelektronumożemynapisaćhamiltonianwpostaci
H=–
ˆ
2µ
h2
¯
∇2–
4πs0
1
Ze2
r
(8.84)
Zewzględunasferycznąsymetrięatomucelowejestprzejścieodwspółrzędnych
kartezjańskichx,y,zdowspółrzędnychsferycznychr,ϑ,ϕ.Związkizachodzącepomię-
dzynimiprzypominarys.8.11.Wnowychwspółrzędnychhamiltonian(8.84)przybiera
postać:
H=–
ˆ
2µ
h
¯
r2
1
∂rr2
∂
∂r+
∂
r2sinϑ
1
∂ϑsinϑ
∂
∂ϑ+
∂
r2sin2ϑ
1
∂ϕ–
∂2
4πs0
1
Ze2
r
(8.85)
Podstawiającwyrażenie(8.85)dorównaniaSchr¨
odingera(8.38)iprzechodzącna-
stępniedopostacitegorównaniaanalogicznejdowzoru(8.40),otrzymujemy
r2
1
∂rr2
∂
∂ψ
∂r+
r2sinϑ
1
∂ϑsinϑ
∂
∂ψ
∂ϑ+
r2sin2ϑ
1
∂2ψ
∂ϕ2
+
2µ
h2E+
¯
4πs0
1
Ze2
rψ=0
(8.86)
