Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
8.Podstawymechanikikwantowejistrukturaelektronowaatomów
cząstkipozapudłem.Zewzględunaciągłośćfunkcjiψtrzebaprzyjąćjakowarunki
brzegowezerowaniesięjejnagranicachpudła,tj.ψ(0)=0iψ(a)=0.
Abyobliczyć,jakiewartościenergiimożeprzyjmowaćcząstkawpudle,musimy
napisaćdlaniejirozwiązaćrównanieSchr¨
odingera.Ponieważψjestunasfunkcją
tylkozmiennejx,aV=0,zwzoru(8.40)otrzymujemy:
d2ψ
dx2
+
2mE
h2
¯
ψ=0
(8.56)
Ogólnymrozwiązaniemtegoliniowego,jednorodnegorównaniaróżniczkowegodru-
giegorzęduostałychwspółczynnikachjestfunkcja
ψ=Asinαx+Bcosαx
(8.57)
wktórejα=(2mE/¯
h2)1/2.Jednakżezwarunkubrzegowegoψ(0)=0wynika,że
B=0.Abyspełnionybyłdrugiwarunekbrzegowy,ψ(a)=0,musibyćspełniona
zależność
αa=nxπ
(8.58)
wktórejnxjestliczbącałkowitą.Pouwzględnieniuwarunkówbrzegowychotrzymujemy
więc,jakorozwiązanierównania(8.56),funkcje
ψ=Asin
nxπx
a
(8.59)
WartościwspółczynnikaAjeszczenieznamy.Wyznaczymyjązwarunkunormalizacji
funkcjiψ.Ponieważfunkcjaψjestrzeczywista,xzaśmożesięzmieniaćwgranicach
od0doa,ogólnywaruneknormalizacji(8.29)przybieratupostać:
∫
0
a
A2sin2
nxπx
a
dx=1
(8.60)
Popodstawieniuπx/a=βiodpowiedniejzmianiegraniccałkowaniaotrzymujemy
równanie:
A2a
π
∫
0
π
sin2(nxβ)dβ=1
(8.61)
Ponieważwystępującatucałkaoznaczonamawartośćπ/2,dostajemy
A=
a
2
1/2
iostatecznieszukanefunkcjefalowemająpostać:
(8.62)
ψ=
2
a
1/2
sin
nxπx
a
(8.63)
przyczymnx=1,2,3...Funkcjetesąfunkcjamiwłasnymioperatoracałkowitejenergii
(hamiltonianu)cząstkiwpudlejednowymiarowym.Odpowiadająceimwartościwłasne
