Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
8.2.Dualistycznycharaktercząstekmateriiipodstawymechanikikwantowej
27
toiloczynfunkcjiψijestfunkcjąwłasnącałkowitegohamiltonianu,energiazaś(wartość
własna)jestsumąenergiiEi.Dowódjestelementarny:
Σ
i=1
n
Hi(xi)
ˆ
j=1
Π
n
ψj(xj)=
Σ
i=1ˆ
n
Hi(xi)
j=1
Π
n
ψj(xj)=
Σ
i=1Π
n
j/=i
ψj(xj)ˆ
Hi(xi)ψi(xi)=
=
Σ
i=1Ei
n
j=1
Π
n
ψj(xj)=
Σ
i=1
n
Ei
j=1
Π
n
ψj(xj)
(8.70)
Rozwiązaniemrównania(8.67)jestzatemiloczyntrzechfunkcji,zktórychkażdazależy
tylkoodjednejzmiennej
ψ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)
(8.71)
ijestfunkcjąwłasnąhamiltonianudlacząstkiwjednowymiarowympudlepotencjału
odługościodpowiednioa,b,ic.Otrzymujemykolejno:
X=
a
2
1/2
sin
nxπx
a
Ex=
8ma2
n2
xh2
(8.72)
Y=
b
2
1/2
sin
nyπy
b
Ey=
8mb2
n2
yh2
(8.73)
Z=
2
c
1/2
sin
nzπz
c
Ez=
8mc2
n2
zh2
(8.74)
Wobeczależności(8.71)otrzymujemyostatecznie,jakorozwiązanierównania(8.67)
funkcjefaloweopostaci
ψ=
abc
8
1/2
sin
nxπx
a
sin
nyπy
b
sin
nzπz
c
(8.75)
WobeczależnościE=Ex+Ey+Ez,całkowitaenergiacząstkiwpudletrójwymiarowym
możeprzyjmowaćwartościdanewyrażeniem
E=
8m
h2
n2
a2
x
+
n2
b2
y
+
n2
c2
z
(8.76)
Zauważmy,żejeślistosunkidługościdowolnychkrawędzipudłamożnawyrazić
liczbamicałkowitymi,toróżnymzespołomliczbkwantowychnx,ny,nzmożeodpowia-
daćtasamaenergia.Naprzykładjeślib=2a,todlanx=2,ny=2,nz=1idla
nx=1,ny=4,nz=1otrzymujemyzrównania(8.76)tęsamąwartośćE.Nato-
miastfunkcjewłasne(8.75)odpowiadającetymróżnymzespołomliczbkwantowychsą
oczywiścieróżne.Wartościwłasneenergii(poziomyenergetyczne)cząstkiwtrójwy-
miarowympudlemogąwięcbyćzdegenerowane(por.D.6).Możnawykazać,żeliniowa
kombinacjafunkcjiwłasnychodpowiadającychpewnemuzdegenerowanemupoziomowi
energetycznemu(tzn.pewnejzdegenerowanejwartościwłasnejenergii)jestteżfunkcją
własnąodpowiadającątemupoziomowi.
Postępowanie,jakiezastosowaliśmydlarozwiązaniarównania(8.67),stosujesięczę-
stowbardziejskomplikowanychzagadnieniachmechanikikwantowej.Jeślihamiltonian
