Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.A.Zadaniałatwe
21
dlaf∈BC(1)(R)(gdzie"·"
∞oznaczastandardowąnormęwprzestrzeni
BC(R))określanormęwBC(1)(R).
2.A.16.
Dlam∈Nia<bsymbolemC(m)([ajb])oznaczmyprzestrzeńwszyst-
kichfunkcjif:[ajb]→RklasyC(m)naprzedziale[ajb],tj.mającychciągłe
pochodnedorzędumwłączniewtymprzedziale,przyczymzawartośćpochod-
nejnakońcuprzedziałuprzyjmujemyodpowiedniąpochodnąjednostronną.Dla
x∈C(m)([ajb])przyjmujemy
"x"=(
Σ
klo
m
/
ł
b
lx(k)(t)l
l
l
2dt)
1
2
j
gdziex(k)oznaczak-tąpochodnąfunkcjix,przyczymx(o)=x.Wykazać,że
powyższywzórdefiniujenormęwC(m)([ajb]).
2.A.17.
ZnaleźćnormyelementówxprzestrzeniunormowanejX,gdy
(a)X=c,x=(x1jx2j...),xn=(1+1
n)
n,n∈N,
(b)X=l1,x=(x1jx2j...),xn=1
2n11,n∈N,
(c)X=L1([−πjπ]),x(t)=sintdlat∈[−πjπ],
(d)X=L1([−πjπ]),x(t)=sin2tdlat∈[−πjπ],
(e)X=L2([−πjπ]),x(t)=sintdlat∈[−πjπ].
2.A.18.
WprzestrzeniC([0j1])wyznaczyćodległośćfunkcjixjy∈C([0j1]),gdy
(a)x(t)=√t,y(t)=1+t,
(b)x(t)=t2,y(t)=1−t,
(c)x(t)=√t,y(t)=t2,
(d)x(t)=1−t,y(t)=1+t,
gdziet∈[0j1].
2.A.19.
Wprzestrzenicowyznaczyćodległośćciągówx=(xn),y=(yn),gdy
(a)xn=
n2+1
n
,yn=
n2+1
1
,n∈N,
(b)xn=
n
1
,yn=−
n
1
,n∈N,
(c)xn=n
√n−1,yn=0,n∈N.
2.A.20.
Wprzestrzenil2znaleźćodległośćpunktówxiy,gdy
(a)x=(
\
n
1
j
n
1
j...j
\f
n
1
/
j0j0j...),y=(0j0j...),n∈N,
nrazy
(b)x=(
\
n2
1
j
n2
nrazy
1
\f
j...j
n2
1
/
j0j0j...),y=(0j0j...j0
\
nrazy
\f
/
j
\
n2
1
j
n2
1
nrazy
\f
j...j
n2
1
/
j0j0j...),
n∈N,
