Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.A.Zadaniałatwe
2.A.2.
NiechpbędziepółnormąwprzestrzeniliniowejX.Wykazać,że
p(
Σ
kl1
n
xk)<
Σ
kl1
n
p(xk)
dladowolnychx1j...jxn∈X.
2.A.3.
NiechpbędziepółnormąwprzestrzeniliniowejX.Wykazać,że
|p(x)−p(y)|<p(x−y)
dladowolnychxjy∈X.
2.A.4.
Niech"·"będzienormąwprzestrzeniR2.Dlat∈[0j1]oznaczamy
ψ(t)="(1−tjt)".
Wykazać,żeψ:[0j1]→Rjestfunkcjąwypukłą.
2.A.5.
NiechXbędziedowolnymzbioremniepustym.Wykazać,żewzór
"f"=sup
x∈X
|f(x)|
dlaf∈B(X),określanormęwB(X).
19
2.A.6.
UstalmydodatniąliczbęrzeczywistąOiniechX⊂Kbędziezbioremniepu-
stym.Wykazać,żewzór
"f"=sup
x∈X
|f(x)|+sup{|
f(x)−f(y)|
|x−y|
o
:xjy∈Xjx/=y}
dlaf∈Ho(X),określanormęwHo(X)(zob.zad.1.A.9).
2.A.7.
Niechpbędziemiarądodatniąokreślonąnaσ-cieleΣpodzbiorówzbioruΩ.
Wykazać,żewzór
"f"=(/
Ω
|f|pdp)
1
p
dlaf∈Lp(ΩjΣjp),określanormęwLp(ΩjΣjp).
2.A.8.
NiechΣbędzieσ-ciałempodzbiorówzbioruΩiniechMbędziezbiorem
wszystkichskończonychrodzin{A1j...jAk}(gdziek∈N)paramirozłącznych
zbiorówzΣ.Udowodnić,żefunkcja"·"określonawzorem
"p"=
{A1,...,Ak}∈M
sup
jl1
Σ
k
|p(Aj)|
dlap∈ba(Σ),jestnormąwprzestrzeniba(Σ)(zob.zad.1.B.2).
2.A.9.
NiechΣbędzieσ-ciałempodzbiorówzbioruΩ.Dlax∈Lp(ΩjΣjp)niech
"x"=(/
Ω
|x|pdp)
1
p
.
Sprawdzić,którezwarunków(P1)–(P4)zdefinicjinormysąspełnionedlafunkcji
"·"wprzestrzeniLp(ΩjΣjp),gdy0<p<1.
