Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
Zadania.2.Przestrzenieunormowane
2.A.10.
Sprawdzić,którezokreślonychponiżejfunkcjiNi:Rn→Rsąpółnormami,
aktóresąnormamiwprzestrzeniliniowejRn:
(a)N1(x)=|x1+x2+···+xn|
2dlax=(x1jx2j...jxn),
(b)N2(x)=(x2
1+2x2
2+3x2
3+···+nx2
n)
1
2dlax=(x1jx2j...jxn),
1
(c)N3(x)=(Σn
kl2|xk−xk11|
2)
2dlax=(x1jx2j...jxn).
2.A.11.
Sprawdzić,którezokreślonychponiżejfunkcjiNi:l1→Rsąpółnormami,
aktóresąnormamiwprzestrzeniliniowejl1:
(a)N1(x)=|Σ
∞
nl1xn|dlax=(xn)∈l1,
(b)N2(x)=maxn>2|xn|+|Σ
∞
nl1xn|dlax=(xn)∈l1,
(c)N3(x)=supm∈N|Σ
m
nl1xn|dlax=(xn)∈l1.
2.A.12.
Sprawdzić,którezokreślonychponiżejfunkcjiNi:C([ajb])→R(gdzie
a<b)sąpółnormami,aktóresąnormamiwrzeczywistejprzestrzeniliniowej
C([ajb])wszystkichfunkcjiciągłychf:[ajb]→R:
(a)N1(f)=sup{|f(x)|:x∈Q∩[ajb]},
(b)N2(f)=∫
ł|f(x)|dx,
b
(c)N3(f)=
l
l
l
∫
łf(x)dx
b
l
l
l
.
2.A.13.
NiechMjL>0.WprzestrzeniC([0jM])funkcjiciągłychf:[0jM]→K
zdefiniujmyfunkcję"·"Lwzorem
"f"L=max
x∈[o,M]
e1Lx|f(x)|
dlaf∈C([0jM]).Wykazać,że"·"LjestnormąwC([0jM]).Normę"·"Lnazy-
wamynormąBieleckiegowC([0jM]).
2.A.14.
Dlaa<bsymbolemC(1)([ajb])oznaczmyprzestrzeńwszystkichfunkcji
f:[ajb]→RklasyC(1)naprzedziale[ajb],tj.mającychciągłepochodnewtym
przedziale,przyczymzawartośćpochodnejnakońcuprzedziałuprzyjmujemy
odpowiedniąpochodnąjednostronną.Wykazać,żewzory:
(a)"x"=max{maxł<t<b|x(t)|jmaxł<t<b|x′(t)|},
(b)"x"=maxł<t<b|x(t)|+maxł<t<b|x′(t)|,
(c)"x"=|x(a)|+maxł<t<b|x′(t)|,
1
(d)"x"=
l
l
l
∫
łx(t)dt
b
l
l
l
+(∫b
ł|x′(t)|2dt)
2
dlax∈C(1)([ajb]),określająnormywC(1)([ajb]).
2.A.15.
NiechBC(1)(R)oznaczazbiórtychwszystkichfunkcjif:R→K,f∈
BC(R),którychpochodnaf′należydoprzestrzeniBC(R).Wykazać,żewzór
"f"="f"∞+
"f′"
"
"∞
