Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.B.Zadaniaśredniotrudne
1.A.25.
WyznaczyćExt(A),gdy:
(a)A={(xjy)∈R2:y>0}.
(b)A={(xjy)∈R2:xjy>0}.
(c)A={(xjy)∈R2:xjy∈[0j1]}.
9
1.A.26.
NiechAbędziezbalansowanympodzbioremprzestrzeniliniowejXnadcia-
łemK.Wykazać,żejeżelisjt∈Ki0<|s|<|t|,tosA⊂tA.
1.A.27.
Sprawdzić,czyzbiórK⊂XjestzbioremzbalansowanymwprzestrzeniX.
(a)X=Cn,K={(z1jz2j...jzn)∈Cn:max{|zk|:k=1j2j...jn}<1}.
(b)X=Rn,K={(x1jx2j...jxn)∈Rn:x2
1+x2
2+···+x2
n<1}.
(c)X=Rn,K={(x1jx2j...jxn)∈Rn:xk>0dlakażdegok=1j2j...jn}.
(d)X=Map(RjR),K={f∈Map(RjR):f(t)<1dlakażdegot∈R}.
(e)X=Map(RjR),K={f∈Map(RjR):f–funkcjaciągła}.
1.A.28.
Sprawdzić,czyzbiórM⊂XjestzbiorempochłaniającymwprzestrzeniX.
(a)X=R2,M={(x1jx2)∈R2:x2
1+x2
2<1}.
(b)X=R2,M={(x1jx2)∈R2:x2
1+x2
2=1}.
(c)X=R2,M={(x1jx2)∈R2:x2
1+x2
2=1}U{(0j0)}.
(d)X=l∞,M=co.
(e)X=l2,M={(xn)∈l2:V
n>1
k>n
A
xk=0}.
1.B.Zadaniaśredniotrudne
1.B.1.
Danajestliczbap>0.Niechpbędziemiarądodatniąokreślonąwσ-ciele
ΣpodzbiorówzbioruΩ.Udowodnić,żezbiórLp(ΩjΣjp)wszystkichfunkcji
f:Ω→Kmierzalnych(względemmiaryp)spełniającychwarunek
/
Ω
|f|
pdp<+∞
jestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeniMap(ΩjK).
1.B.2.
NiechΣbędzieσ-ciałempodzbiorówzbioruΩiniechMbędziezbiorem
wszystkichskończonychrodzin{A1j...jAk}(gdziek∈N)paramirozłącznych
zbiorówzΣ.Symbolemba(Σ)oznaczamyzbiórwszystkichfunkcjip:Σ→K
skończenieaddytywnych(tojesttakich,żep(U
k
jl1Aj)=Σ
k
jl1p(Aj)dlakażdej
rodziny{A1j...jAk}∈M),którespełniająwarunek
{A1,...,Ak}∈M
sup
Σ
jl1
k
|p(Aj)|<+∞.
