Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
8
Zadania.1.Przestrzenielinioweiichpodzbiory
1.A.12.
NiechXbędzieprzestrzeniątopologicznąHausdorffalokalniezwartą.Udo-
wodnić,żeCo(X)zestandardowymidziałaniamidodawaniafunkcjiimnożenia
funkcjiprzezelementyciałaKjestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeniBC(X).
1.A.13.
NiechXbędzieprzestrzeniąliniowąnadciałemCmającąwymiarn.Przez
XRoznaczamyprzestrzeńXrozpatrywanąnadciałemR.Sprawdzić,żeXRma
wymiar2n.
1.A.14.
NiechAjBbędąniepustymipodzbioramiprzestrzeniliniowejX.Wykazać,
żejeżeliA⊂B,toLin(A)⊂Lin(B)iConv(A)⊂Conv(B).
1.A.15.
NiechAbędzieniepustympodzbioremprzestrzeniliniowejX.Udowodnić,
żeLin(A)jestnajmniejsząpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeniXzawierającą
zbiórA.
1.A.16.
NiechA,BbędąniepustymipodzbioramiprzestrzeniliniowejX.Wykazać,
że
Lin(AUB)=Lin(A)+Lin(B).
1.A.17.
NiechA,BbędąniepustymipodzbioramiprzestrzeniliniowejX.Wykazać,
że
Lin(A+B)⊂Lin(A)+Lin(B).
PodaćprzykładzbiorówA,B,dlaktórychLin(A+B)/=Lin(A)+Lin(B).
1.A.18.
NiechY,ZbędąpodprzestrzeniamiliniowymiprzestrzeniX.Wykazać,że
Y+ZjestpodprzestrzeniąliniowąX.PodaćprzykładzbiorówAjBniebędących
podprzestrzeniamiliniowymitakich,żeA+Bjestpodprzestrzeniąliniową.
1.A.19.
Niech{At:t∈T}będziedowolnąrodzinąpodprzestrzeniliniowychprze-
strzeniX.Wykazać,żeczęśćwspólnaΠt∈TAtjestpodprzestrzeniąliniową.
1.A.20.
Niech{At:t∈T}będziedowolnąrodzinąwypukłychpodzbiorówprze-
strzeniliniowejX.Wykazać,żeczęśćwspólnaΠt∈TAtjestzbioremwypukłym.
1.A.21.
NiechAbędzieniepustympodzbioremprzestrzeniliniowejX.Udowodnić,
żeConv(A)jestnajmniejszympodzbioremwypukłymprzestrzeniXzawierają-
cymzbiórA.
1.A.22.
Dlanjk∈Nniech
δn,k={1jgdyn=kj
0jgdyn/=k
ien=(δn,k)
k∈N.Wprzestrzenil1wyznaczyćConv(A),gdzieA={en:n∈N}.
1.A.23.
NiechWbędziepodprzestrzeniąliniowąprzestrzeniV.Wykazać,żejeżeli
Ext(W)/=∅,toW={0}.
1.A.24.
NiechAbędzieniepustym,wypukłympodzbioremprzestrzeniliniowejX
iniech
S={tx:x∈Ajt∈[0j+∞)}.
Wykazać,żejeżelie∈SjestpunktemekstremalnymS,toe=0.
