Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.A.Zadaniałatwe
7
1.A.3.
Niechpbędziemiarądodatniąokreślonąnaσ-cieleΣpodzbiorówzbio-
ruΩ.Udowodnić,żezbiórLo(ΩjΣjp)wszystkichfunkcjif:Ω→Kta-
kich,żef(x)=0prawiewszędziewΩ,jestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeni
M(ΩjΣjp).
1.A.4.
Niechpbędziemiarądodatniąokreślonąnaσ-cieleΣpodzbiorówzbioru
ΩiniechΣo={A∈Σ:p(A)=0}.Funkcjamierzalna(względemmiaryp)
f:Ω→Kjestistotnieograniczona,gdyistniejezbiórA∈Σotaki,że
sup{|f(x)|:x∈Ω\A}<+∞.
Oznaczato,żesupremumistotneokreśloneponiżej
supess
x∈Ω
|f(x)|=inf{k>0:|f(x)|<kdlap.w.x∈Ω}=inf
A∈Σo
(sup
x∈Ω\A
|f(x)|)
jestskończone.Udowodnić,żezbiórL∞(ΩjΣjp)wszystkichfunkcjif:Ω→K
istotnieograniczonychjestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeniM(ΩjΣjp).
1.A.5.
NiechXbędziezbioremniepustym.Udowodnić,żezbiórB(X)wszystkich
funkcjiograniczonychf:X→Kjestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeni
Map(XjK).
1.A.6.
Udowodnić,żeprzestrzeńl∞wszystkichograniczonychciągównieskończo-
nychowyrazachzciałaKjestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeniMap(NjK).
1.A.7.
Udowodnić,żeprzestrzeńcwszystkichciągównieskończonychzbieżnych
owyrazachzciałaKjestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzenil∞.
1.A.8.
Udowodnić,żeprzestrzeńcowszystkichciągównieskończonychzbieżnychdo
zeraowyrazachzciałaKjestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzenic.
1.A.9.
UstalmydodatniąliczbęrzeczywistąOiniechX⊂Kbędziezbioremniepu-
stym.Mówimy,żefunkcjaf:X→KspełniawarunekHölderazwykładni-
kiemO,jeżeliistniejestałaL>0,dlaktórejnierówność
|f(x)−f(y)|<L|x−y|o
zachodzidlawszystkichxjy∈X(wprzypadku,gdyO=1,warunektennosi
nazwęwarunkuLipschitza).PrzezHo(X)oznaczamyprzestrzeńliniową(ze
zwykłymidziałaniami)wszystkichfunkcjif:X→Kspełniającychwarunek
HölderazwykładnikiemO.GdyO=1,przestrzeńtęoznaczamyprzezLip(X).
Udowodnić,żeHo(X)jestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeniMap(XjK).
1.A.10.
NiechXbędzieprzestrzeniątopologicznąHausdorffa.Udowodnić,żezbiór
C(X)wszystkichfunkcjiciągłychf:X→Kjestpodprzestrzeniąliniową
przestrzeniMap(XjK).
1.A.11.
NiechXbędzieprzestrzeniątopologicznąHausdorffa.Udowodnić,żezbiór
BC(X)wszystkichfunkcjiciągłychiograniczonychf:X→Kjestpodprze-
strzeniąliniowąprzestrzeniB(X).
