Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.ELEMENTYALGEBRYABSTRAKCYJNEJ
DOWÓD0JeśliHjestpodgrupągrupyGijeśliy7y′∈I(H),toistniejątakieelementyx7x′∈H,
dlaktórychy=I(x)iy′=I(x′),aponieważx◦(x′)11∈HorazI((x′)11)=[I(x′)]
11,więc
y◦(y′)11∈I(H),skądwynikawedługtw.1.6,żeI(H)jestpodgrupągrupyŴ.
JeśliAjestpodgrupągrupyŴijeślix7x′∈I11(A),toistniejątakiey7y′∈A,dla
którychy=I(x)iy′=I(x′),aponieważAjestgrupą,więcy◦(y′)11∈A.Mamypozatym
(y′)11=I((x′)11)iwtedyx◦(x′)11∈I11(A),awięcI11(A)jestpodgrupągrupyG.
DEFINICJA10150JądremhomomorfizmuI:G→ŴnazywamyzbiórI11({ε}),
gdzieεjestelementemneutralnymgrupyŴ.Obrazemhomomorfizmu
I:G→ŴnazywamyzbiórI(G).
JądrohomomorfizmuIoznaczamyprzezKerI.ObrazhomomorfizmuIozna-
czamyprzezImI.
Napodstawietw.1.11jądroKerIjestpodgrupągrupyG,ponieważjestono
przeciwobrazempodgrupy{ε}grupyŴ.ObrazImIjestpodgrupągrupyŴ.
TWIERDZENIE10120JądrohomomorfizmuI:G→Ŵjestdzielnikiemnormalnym
grupyG.
DOWÓD0Zdefinicjiwarstwyijądramamy
a◦KerI={x∈G:istniejetakiey∈G7żex=a◦y7I(y)=ε}7
awięca◦KerI={x∈G:I(x)=I(a)}.Podobnie
(KerI)◦a={x∈G:istniejetakiey∈G7żex=y◦a7I(y)=ε}7
czyli(KerI)◦a={x∈G:I(x)=I(a)}.Stąddlakażdegoa∈G
a◦KerI=(KerI)◦a.
awięcnapodstawiedef.1.13otrzymujemytezę.
TWIERDZENIE10130JeśliHjestdzielnikiemnormalnymgrupyG,toprzekształcenie
I:G→G/Hokreślonedlakażdegoa∈Gwzorem
I(a)=a◦H
jesthomomorfizmemgrupy(G7◦)wgrupę(G/H7•)oraz
KerI=H
i
ImI=G/H.
DOWÓD0Zzałożeńtwierdzeniaizdefinicjidziałanianawarstwach(def.1.9)mamy
I(a◦b)=(a◦b)◦H=(a◦H)•(b◦H)=I(a)•I(b)7
czyliIjesthomomorfizmem.Wiadomo,żeHjestelementemneutralnymgrupyilorazowejG/H,
awięcI11({H})=H,czyliKerI=H.
RównośćImI=G/HwynikanatychmiastzokreśleniaprzekształceniaI.
Przykład10180RozważmygrupęKleinaG={e7a7b7ć}iokreślonąwprzykł.1.16
grupęilorazowąG/H.
30
