Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.GRUPY
Tabelkaniejestsymetrycznawzględemgłównejprzekątnej,więcgrupanie
jestprzemienna,mamybowiemnp.a◦b=xib◦a=y.
Warstwamilewostronnymiiprawostronnymielementówgrupywzględempod-
grupyŴ={e7a}sązbiory
e◦Ŵ=a◦Ŵ={e7a}7
Ŵ◦e=Ŵ◦a={e7a}7
b◦Ŵ=y◦Ŵ={b7y}7
ć◦Ŵ=x◦Ŵ={ć7x}7
Ŵ◦b=Ŵ◦x={b7x}7
Ŵ◦ć=Ŵ◦y={ć7y}.
Zauważmy,żeniezawszewarstwylewostronnaiprawostronnategosamego
elementusąrówne,np.b◦Ŵ/=Ŵ◦b.
InnąpodgrupąrozważanejgrupyjestpodgrupaobrotówH={e7x7y}.Dlatej
podgrupywarstwylewostronnaiprawostronnategosamegoelementusąrówne:
e◦H=x◦H=y◦H={e7x7y}7
a◦H=b◦H=ć◦H={a7b7ć}7
H◦e=H◦x=H◦y={e7x7y}7
H◦a=H◦b=H◦ć={a7b7ć}.
TWIERDZENIE1070Warstwylewostronneelementówgrupy(G7◦)względemjej
podgrupy(H7◦)tworząpodziałzbioruGnapodzbioryrozłączne.Tosamo
dotyczywarstwprawostronnych.
DOWÓD0Zauważmynajpierw,żekażdyelementx∈Gnależydojakiejśwarstwy:ponieważ
e∈H,więcx∈x◦H.
Wykażemy,żejeślia◦H∩b◦H/=∅,toa◦H=b◦H.
Jeśliistniejątakiex7y∈H,żea◦x=b◦y,toa=b◦y◦x11ijeśliz∈H,to
a◦z=b◦y◦x11◦ziy◦x11◦z∈H.Stądwynika,żea◦H⊂b◦H.Podobniemożnapokazać,
żeb◦H⊂a◦H,awięca◦H=b◦H.
Dowódwprzypadkuwarstwprawostronnychjestanalogiczny.
TWIERDZENIE108(Lagrange’a)0Rządpodgrupygrupyskończonejjestdzielnikiem
rzędugrupy.
DOWÓD0Zprawajednostronnegoskracania(tw.1.3)wynika,żekażdawarstwalewostronnama
jednakowąliczbęelementówrównąrzędowipodgrupy.Jeślikjestliczbąwarstwrozłącznych,na
którerozkładasięgrupaGwedługtw.1.7,tor(G)=k·r(H)dladowolnejpodgrupyHgrupyG.
Liczbęwarstwrozłącznych,naktórepodgrupaHrozkładagrupęGnazywamy
indeksempodgrupyH.
Dzielniknormalny
DEFINICJA10130Podgrupę(H7◦)grupy(G7◦)nazywamydzielnikiemnor-
malnymgrupy(G7◦),gdydlakażdegoelementua∈Gzachodzirówność
a◦H=H◦a.
Dlagrupyprzemiennejkażdapodgrupajestjejdzielnikiemnormalnym.
27
