Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.ELEMENTYALGEBRYABSTRAKCYJNEJ
Dladowolnejgrupykażdapodgrupaoindeksie2jestdzielnikiemnormalnym.
Wedługtw.1.7zapomocądowolnejpodgrupymożnauzyskaćdwanaogół
różnerozkładygrupyGnawarstwyrozłącznelewostronnelubprawostronne.
WprzypadkudzielnikanormalnegoHpodziałtenjestdokładniejeden.Wyznacza
onrelacjęrównoważnościizbiórilorazowy(zob.Wstęp),którybędziemyoznaczać
przezG/H.
TWIERDZENIE1090JeśliHjestdzielnikiemnormalnymgrupy(G7◦),towzbiorze
ilorazowymG/Hmożnanawarstwachokreślićdziałanie•:
(a◦H)•(b◦H)=(a◦b)◦H7
dladowolnycha7b∈G.Struktura(G/H7•)jestwtedygrupą.
DOWÓD0Należynajpierwwykazać,żedziałanie•jestdobrzeokreślone,czyliniezależyod
wyborureprezentantówwarstw.
Niecha′∈a◦H,b′∈b◦HiniechHbędziedzielnikiemnormalnymgrupyG.Istnieją
wtedytakiex7y∈H,żea′=a◦x,b′=y◦bimamy
a′◦b′=a◦x◦y◦b=a◦z◦b=a◦b◦z′7
gdziez7z′∈H.Stądwynika,żea′◦b′∈(a◦b)◦H,czylinamocytw.1.7mamy(a′◦b′)◦H=
=(a◦b)◦H.
Działanie•jestłącznewzbiorzeG/H,ponieważdladowolnychelementówa,b,ćnależą-
cychdoGmamy
(a◦H•b◦H)•ć◦H=(a◦b◦ć)•H=a◦H•(b◦H•ć◦H).
Elementemneutralnymdziałania•wzbiorzeG/Hjest
e◦H=H7
akażdawarstwaa◦Hmaelementodwrotny
(a◦H)11=a11◦H.
Namocydef.1.6struktura(G/H7•)jestgrupą.
Grupę(G/H7•)ztw.1.9nazywamygrupąilorazową.
Przykład10160DlagrupyKleinaG={e7a7b7ć}(zob.przykł.1.12)podgrupa
H={e7a}jestjejdzielnikiemnormalnym.Mamy
G/H={H7b◦H}7
boa◦H=Hić◦H=b◦H.Działanie•jestokreślonezapomocątabelki
b◦Hb◦H
H
•
H
H
b◦H
b◦H
H
28
