Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.GRUPY
Przykład10170Niech(Z7+)będziegrupąliczbcałkowitychzdodawaniemaryt-
metycznym,aprzez3Zoznaczmyzbiórliczbcałkowitychpodzielnychprzez3.
Podgrupa(3Z7+)jestdzielnikiemnormalnymgrupy(Z7+).
Grupailorazowa(Z/3Z7⊕)matrzyelementy,którymisąwarstwy3Z,1+3Z,
2+3Z.Wynikidziałania⊕przedstawiamywtabelce:
1+3Z1+3Z2+3Z
2+3Z2+3Z
3Z
⊕
3Z
3Z
1+3Z2+3Z
1+3Z2+3Z
3Z
1+3Z
3Z
Homomorfizm,izomorfizm
DEFINICJA10140Homomorfizmemgrupy(G7◦)wgrupę(Ŵ7∗)nazywamytakie
odwzorowanieI:G→Ŵ,któredladowolnychx7y∈Gspełniawarunek
I(x◦y)=I(x)∗I(y).
TWIERDZENIE10100JeśliI:G→Ŵjesthomomorfizmemijeślie,εsąodpowiednio
elementamineutralnymigrup(G7◦)iŴ7∗),to
I(e)=ε
orazdlakażdegox∈G,
I(x
11)=[I(x)]
11.
DOWÓD0Mamye=e◦eizdefinicjihomomorfizmu
I(e)=I(e)∗I(e).
Ponieważε=I(e)∗[I(e)]11,więczpoprzedniejrówności
ε=I(e)∗I(e)∗[I(e)]
11=I(e).
Mamyterazdlakażdegox∈G
I(x)∗I(x11)=I(x◦x11)=I(e)=ε.
Podobniemożnapokazać,że
I(x11)∗I(x)=ε7
awięcI(x11)=[I(x)]
11.
TWIERDZENIE10110NiechI:G→Ŵbędziehomomorfizmemgrup.Dladowol-
nejpodgrupyH⊂GjejobrazI(H)jestpodgrupągrupyŴidladowolnej
podgrupyA⊂ŴjejprzeciwobrazI11(A)jestpodgrupągrupyG.
29
