Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.ELEMENTYALGEBRYABSTRAKCYJNEJ
Wpraktyce,żebywykazać,żedanypodzbiórŴ⊂Gwrazzdziałaniem◦
jestpodgrupągrupy(G7◦),sprawdzamyoddzielniewewnętrznośćdziałania◦wŴ
orazprzynależnośćdozbioruŴodwrotnościelementówx∈Ŵ.
Grupęjednoelementowąnazywamygrupątrywialną.Oczywiściejejelemen-
temjestelementneutralny.
Każdanietrywialnagrupa(G7◦)maconajmniejdwiepodgrupy:grupętry-
wialną({e}7◦)isamąsiebie(G7◦).
Podgrupęnazywamywłaściwą,gdyniejesttrywialnainiejestcałągrupą.
Każdapodgrupagrupyprzemiennejjestprzemienna,ponieważprzemienność
jestwłasnościądziedziczną(zob.Wstęp).
Przykład10130Niech(Z7+)będziegrupąliczbcałkowitychzdodawaniemaryt-
metycznym.Niech2Z={x∈Z:x=2y7y∈Z}.Podzbiór2Zzdziałaniem+jest
podgrupągrupy(Z7+).
Przykład10140GrupaKleinazprzykł.1.12matrzypodgrupywłaściwe:
({e7a}7◦)7({e7b}7◦)7({e7ć}7◦).
Grupazprzykł.1.8majakopodgrupyjedyniepodgrupętrywialnąisamą
siebie.
DEFINICJA10120Niech(Ŵ7◦)będziepodgrupągrupy(G7◦)iniecha∈G.
Zbiór{y∈G:y=a◦x7x∈Ŵ}nazywamywarstwąlewostronnąelementua
względempodgrupy(Ŵ7◦)ioznaczamyprzeza◦Ŵ.
WarstwąprawostronnąjestzbiórŴ◦a={y∈G:y=x◦a7x∈Ŵ}.
Przykład10150Ułożymytabelkęgrupyprzekształceńizometrycznychtrójkątarów-
nobocznegonasiebie:
◦
e
b
ć
y
x
a
e
y
x
e
a
b
ć
a
a
e
y
x
ć
b
e
b
b
x
y
a
ć
y
x
b
a
ć
ć
e
x
x
a
y
b
ć
e
y
y
x
ć
a
b
e
Przezeoznaczamyprzekształcenietożsamościowe,przeza,b,ćsymetrie
względemwysokościtrójkąta,aprzezx,yobrotywzględemśrodkatrójkąta
okąty2
3π,12
3π.Przez◦oznaczamyskładanieprzekształceń.
26
