Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.ELEMENTYALGEBRYABSTRAKCYJNEJ
iponastępnychk12krokachmamy
(d)
(x
k)
m=xk·m.
Zdefinicji1.8dladowolnychk7m∈Zmamy
(x
k)
1m=[(xk)11]m=(x1k)m7
astądwynikawzór(d)równieżdlakażdegom∈Z.
Grupacykliczna
DEFINICJA1090Grupę(G7◦)nazywamygrupącykliczną,gdyistniejetakiele-
mentx∈G,żekażdyelementy∈Gmożnaprzedstawićjakopotęgęowy-
kładnikucałkowitymelementux.Elementxnazywamywtedygeneratorem
grupy(G7◦).
PrzezCnoznaczamygrupęcyklicznąrzędun.JeślixjestgeneratoremgrupyCn,
to
Cn={e7x7x
27...7xn11}7
gdzie
xn=e.
Pozatymdladowolnychk7m∈Z
xn1m=x1m7
xm+k·n=xm.
DEFINICJA10100Rzędemelementuxgrupyskończonej(G7◦)nazywamynaj-
mniejsząliczbęnaturalnąk,takążexk=e.
Rządelementuxoznaczamyprzezr(x).
Wgrupieskończonej(G7◦)każdyelementx∈Gmarządr(x),któryjestnie
większyodrzędugrupyr(G).Wynikatozfaktu,żewgrupieskończonejkolejne
potęgielementuxniemogąbyćstaleróżne,bonależądoG.Oczywiścier(e)=1
ijeślir(x)=1,tox=e.
ElementxjestgeneratoremgrupyCnwtedyitylkowtedy,gdyr(x)=n.
Przykład1090Grupa(X7◦)zprzykł.1.8jesttogrupacyklicznarzędu3,ponieważ
a2=b,czyli
X={e7a7a
2}.
Mamyr(a)=3=r(b),awięczarównoajakibsągeneratoramigrupy.
Przykład10100Istniejąnieskończonegrupycykliczne,np.grupacałkowitychpotęg
liczby2zarytmetycznymmnożeniemjakodziałaniemgrupowym.Generatorami
tejgrupysą2,211itylkotedwieliczby.
Przykład10110Rozważmygrupęcykliczną
24
