Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.ELEMENTYALGEBRYABSTRAKCYJNEJ
Przykład1080WtrzyelementowymzbiorzeX={e7a7b}określamydziałanie◦
zapomocątabelki:
◦
a
b
e
a
b
e
e
a
a
b
e
b
b
a
e
Łatwopokazać,żestrukturaalgebraiczna(X7◦)jestgrupąprzemienną.
TWIERDZENIE1030Wdowolnejgrupie(G7◦)zachodziprawojednostronnegoskra-
cania:
jeśli
a◦b=a◦ć7
to
b=ć
ijeśli
a◦b=ć◦b7
to
a=ć7
dladowolnychelementówa7b7ć∈G.
DOWÓD0Jeślia◦b=a◦ć,to
a11◦(a◦b)=a11◦(a◦ć)7
gdziea11jestelementemodwrotnymelementua.Mamydalej
(a11◦a)◦b=(a11◦a)◦ć7
e◦b=e◦ć7
b=ć.
Podobniedowodzimyprawdziwościdrugiejimplikacji.
Zwracamyuwagę,żezprawajednostronnegoskracaniamożemykorzystać
tylkowtedy,gdyjednakoweelementyprzezktóreskracamy,występująpotejsamej
stroniesymboludziałania–stądnazwategoprawa.Jeśligrupaniejestprzemienna,
tozrównościa◦b=ć◦aniewynikanaogółb=ć.
Zprawajednostronnegoskracaniawynikaważnawłasnośćtabelkidziała-
niawgrupieskończonej.Wkażdymwierszuiwkażdejkolumnietabelkikażdy
elementgrupypojawiasiędokładnieraz.Wprzykładzie1.8jestpodanajedyna
możliwośćwypełnieniatabelkidziałaniadlagrupyrzędu3.
TWIERDZENIE1040Wdowolnejgrupie(G7◦)dladowolnycha7b7∈G
(a◦b)11=b11◦a11.
DOWÓD0Korzystajączłącznościdziałania◦,możemynapisać:
(a◦b)◦(b11◦a11)=a◦(b◦b11)◦a11=a◦e◦a11=a◦a11=e
22
(1.1)
