Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.GRUPY
oraz
(b11◦a11)◦(a◦b)=b11◦(a11◦a)◦b=b11◦e◦b=b11◦b=e.
Stądwynikawzór(1.1).
DEFINICJA1080Wdowolnejgrupie(G7◦)określamypotęgęelementux∈G
owykładnikucałkowitymkwsposóbnastępujący:
x0=e7
idlakażdegon∈N
xn+1=xn◦x
i
x1n=(xn)11.
TWIERDZENIE1050Wdowolnejgrupie(G7◦)potęgaowykładnikucałkowitymma
następującewłasności:
xk◦xm=xk+m
i
(xk)m=xk·m7
(1.2)
dlakażdegox∈Gidladowolnychk7m∈Z.
DOWÓD0Wprzypadkugdyk=0lubm=0,twierdzeniejestoczywiste,będziemywięcdalej
zakładać,żek/=0/=m.(Oznaczeniazbiorówliczbowych–zob.Wstęp).
Pokażemynajpierw,żedladowolnegok∈N∗
(a)
xk=x◦xk11.
Dlak=1równość(a)jestoczywista.Jeślixk=x◦xk11,tozdef.1.8
xk+1=xk◦x=x◦xk11◦x=x◦xk.
Równość(a)zachodziwięcdlakażdegok∈N∗.Jeślik7m∈N∗,to
xk◦xm=xk◦x◦xm11=xk+1◦xm11
iponastępnychm11takichkrokachmamy
(b)
xk◦xm=xk+m.
Ztwierdzenia1.4izdef.1.8mamydlakażdegok∈N∗
x1m=x11◦x1m+17
awięcdladowolnychk7m∈N∗
xk◦x1m=xk◦x11◦x1m+1=xk11◦x1m+1
ipodalszychm11krokachmamy
(c)
xk◦x1m=xk1m.
Stosującrówność(b)dlak7m∈N∗orazrówność(c),def.1.8itw.1.4,możemypokazać,
żewzór(b)zachodzidladowolnychk7m∈Z.
Jeślik∈Zim∈N∗,to
(x
k)
m=xk◦(xk)m11=xk◦xk◦(xk)k12=x2k◦(xk)k12
23
