Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.2.GRUPY
C12={e7x7x
27...7x11}.
Mamy
r(x)=r(x5)=r(x7)=r(x11)=127
awięcgeneratoramigrupysą:x,x5,x7,x11.Pozatym
r(x2)=r(x10)=67
r(x4)=r(x8)=37
r(x3)=r(x9)=47
r(x6)=2.
Przykład10120GrupaKleinaokreślonazapomocątabelki
◦
e
a
b
ć
e
e
a
b
ć
e
a
a
ć
b
b
b
ć
e
a
ć
ć
e
b
a
niejestgrupącykliczną,ponieważr(G)=4ir(a)=r(b)=r(ć)=2.
Podgrupa,warstwa
DEFINICJA10110NiechΓbędziepodzbioremniepustymzbioruG.Grupę(Ŵ7•)
nazywamypodgrupągrupy(G7◦),gdydziałanie•jestdziałaniem◦obciętym
dozbioruŴ.
Działaniewpodgrupiebędziemyoznaczaćtymsamymsymbolemcowcałej
grupie.Elementneutralnypodgrupyjestelementemneutralnymcałejgrupy(zob.
tw.1.1).Ztwierdzenia1.2wynika,żedowolnyelementpodgrupymawniejten
samelementodwrotnycowcałejgrupie.
TWIERDZENIE1060Dladowolnejgrupy(G7◦)podzbiórniepustyŴ⊂Gwrazzdzia-
łaniem◦tworzyjejpodgrupęwtedyitylkowtedy,gdydladowolnychx7y∈Ŵ
zachodzizależność
x◦y11∈Ŵ.
DOWÓD0Sprawdzamywarunkidefinicjigrupy(def.1.6).Jeśli(Ŵ7◦)jestgrupą,tooczywiście
dladowolnychx7y∈Ŵmamyx◦y11∈Ŵ.
Jeślidladowolnychx7y∈Ŵmamyx◦y11∈Ŵ,todlay=xmamye∈Ŵ.
Jeślix=e,toy11∈Ŵdlakażdegoy∈Ŵ.
Jeśliwięcx7y∈Ŵ,tox7y11∈Ŵix◦(y11)11∈Ŵ,awięcx◦y∈Ŵ,czylidziałanie◦
jestwewnętrznewzbiorzeŴ.
Łącznośćdziałaniajestwłasnościądziedziczną,więcdziałanie◦jestłącznewdowolnym
podzbiorzeŴ⊂G.
25
