Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
EinenStiefelrechnen
alboteżnigdyniejestnaniczapóźno
Poświęćmychwilęuwagiliczbomtrójkątnym.SymbolemT
noznacz-
myliczbę,którejodpowiadatrójkątobokuliczącymnelementów,
copokazujezamieszczonypowyżejrysunek.Zrysunkutegoodrazu
widzimy,żeT
n=T
n–1+n=1+2+…+(n–1)+nijestsumąkolejnych
liczbnaturalnychod1don30.Policzenietakiejsumytozadanieproste,
anajpiękniejsząmetodęwymyślił–jeszczejakogenialnepacholę–
przyszłyDksiążęmatematyków”CarlFriedrichGauss(1777–1855).
Zapiszmywięczanimsumęliczbod1donnadwasposoby,raz
wewzrastającym,adrugirazwmalejącymporządku:
T
n=1+2+…+(n–1)+n,
T
n=n+(n–1)+…+2+1.
Dodajmyterazdosiebietedwarównaniastronami.Polewejstronie
otrzymamy2T
n.Sumowaniepoprawejprzeprowadzimynajpierw
wkolejnychpionowychkolumnach(jestichtyle,iledodawanychwkażdym
rzędzieliczb,czylin),apotemdodamydosiebiewszystkieotrzymane
wyniki.Wpierwszejkolumnieotrzymujemyn+1,wdrugiej2+(n–1),
wtrzeciej3+(n–2)…iwreszciewostatniejn+1.Zawszetosamo,
n+1.Awięcostatecznywynikton(n+1).Stądzaświdzimy,że:
T
n=
n(n+1)
2
.
Tenwzórpozwalałatwowyznaczyćdowolnąliczbętrójkątną.
Dziesięćpierwszychznichto1,3,6,10,15,21,28,36,45,55…
Wdefinicjiliczbtrójkątnychwygodniejestuwzględnićtakżeliczbę
zerową:T
0=0.Okazujesię,żekażdaliczbanaturalnamożezostać
zapisanajakosumatrzechliczbtrójkątnych,coudowodniłtakżeGauss.
Wynikten(jestonszczególnymprzypadkiembardziejogólnegotwier-
dzenia,podanegobezdowoduprzezFermata,audowodnionegoprzez
30
Dlamatematykasątopoprostusumycząstkoweszereguarytmetycznego,zbudo-
wanegozciąguliczbnaturalnych.
39
