Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Podrozmaitościprzestrzeniafinicznych
17
Dowód.
=⇒:
Submersjęzpoprzedniegostwierdzeniamożnatraktowaćja-
koukładrównańopisującypodrozmaitośćM,któregomacierzpochodnych
cząstkowychmarządn−m.Tezawynikaztwierdzeniaofunkcjiuwikłanej.
⇐=:
Zostawiamyjakoćwiczenie.Zarównoparametryzacjawykresufunk-
cjigładkiej,jakijegoprzedstawieniewpostaciwłóknasubmersji,sąbardzo
łatwe.✷
1.27.Przykład.
Otwartypodzbiór(górnapółsfera)sferywR3ośrodku0
ipromieniuTjestwykresemfunkcjif:U→Rokreślonejwzoremf(xjy)=
=dT2−x2−y2nakoleU={(xjy)∈R2:x2+y2<T2}.
Wprowadzimyterazpojęcieprzekształceniagładkiegopomiędzypodroz-
maitościami.Dwiemożliwościwydająsięnaturalne:jednawterminachpara-
metryzacjipodrozmaitości,druga—wterminachobcięćprzekształceńgładkich
przestrzeniafinicznych,wktórychtepodrozmaitościsązawarte.Okazujesię,
żeobiedrogiprowadządotegosamegocelu.
1.28.Definicja.
NiechM⊂RniS⊂Rkbędąpodrozmaitościamiwy-
miarówodpowiedniomi5,aF:M→S—dowolnymprzekształceniem
ciągłym.Fnazywasięprzekształceniemgładkimwtedyitylkowtedy,gdy
dladowolnejparametryzacjip:U→p(U)zbiorup(U)otwartegowMidla
dowolnejparametryzacjiq:V→q(V)zbioruq(V)otwartegowSzłożenie
q11◦F◦p:p11(F11(q(V)))→V⊂R5określonenazbiorzeotwartymwRm
jestprzekształceniemgładkim.Funkcjaq11◦F◦pnazywasięlokalnymprzed-
stawieniemFprzyparametryzacjachpiq(lubwmapachp11iq11)(rys.1.9).
Rys.1.9
1.29.Lemat.
JeśliU⊂Rmjestpodzbioremotwartym,p:U→p(U)⊂Rn
jestparametryzacją,axo=p(uo),toistniejeotoczenieUopunktuuowU
orazgładkierozszerzenief:W→Uoprzekształcenia(p|U
0)11określonena
otoczeniuWpunktuxowRn.
Dowód.
Ztwierdzeniaoimmersji(1.10.)wynika,żeistniejetakidyfeomor-
fizm0:W→0(W)⊂Rn,że(0◦p)(u)=(uj0)∈RmXRn1mdlau∈Uo.
