Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
16
Podrozmaitościprzestrzeniafinicznych
submersjaf:W→Rn1mokreślonanapewnymotoczeniuWpunktuxwRn,
żeM∩W=f11(0).
Dowód.
=⇒:
Bierzemy0:W→0(W)⊂RmXRn1mzdefinicjipodroz-
maitościikładziemyf:=π◦0,gdzieπ:RmXRn1m→Rn1mjestrzutem
nadrugiczynnikkartezjański.
⇐=:
Rozpatrzmysubmersjęf.Ztwierdzeniaosubmersji(1.13.)wynika,
żeistniejetakidyfeomorfizm0:Wo→0(Wo)⊂Rn,określonynapewnym
otoczeniuWo⊂Wpunktux∈Rn,że(f◦011)(y1j...jymjym+1j...jyn)=
=(ym+1j...jyn)∈Rn1m.NaWomamyzatemf=π◦0orazM∩Wo=
=f11(0)=011(RmX{0}).✷
1.23.Uwaga.
Przeciwobrazf11(b)punktub∈Bprzyprzekształceniu
f:A→Bbędziemynazywaćwłóknemprzekształceniafnadpunktemb.
Powyższestwierdzeniemożemyzatemsformułowaćwsposóbnastępujący:pod-
zbiórM⊂RnjestpodrozmaitościąRnwtedyitylkowtedy,gdyMlokalnie
jestwłóknemsubmersjiokreślonejnazbiorzeotwartymwRn.
1.24.Wniosek.
Jeślif:W→Rn1mjestsubmersjąokreślonąnaotwartym
podzbiorzeRn,toniepustewłóknaf11(y)sąm-wymiarowymipodrozmaito-
ściamiRn.
1.25.Przykład.
SferawR3ośrodku0ipromieniuTjestwłóknemsub-
mersjif:R3\{0}→R1określonejwzoremf(xjyjz)=x2+y2+z2−T2nad
punktem0.
1.26.Stwierdzenie.
NiepustypodzbiórM⊂Rnjestm-wymiarowąpod-
rozmaitościąRnwtedyitylkowtedy,gdykażdypunktx∈Mposiadatakie
otoczeniewM,którejestwykresemgładkiejfunkcji0:Rm⊃U→Rn1m,
przyczymRmorazRn1moznaczająpodprzestrzenieRnrozpiętenaodpo-
wiedniodobranychosiachukładuwspółrzędnych,aU⊂Rmjestpodzbiorem
otwartym(rys.1.8).
Rys.1.8
