Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
Podrozmaitościprzestrzeniafinicznych
(0◦p)(u)=(uj0)∈RmXRn1m=Rndlaunależącychdopewnegopod-
zbioruotwartegoUo⊂U.Wykażemy,żedyfeomorfizm0obciętydopewne-
gootoczeniapunktuxospełniawarunekwystępującywdefinicjirozmaitości
(rys.1.4).PonieważpjesthomeomorfizmemUnap(U),więcistniejetakieoto-
czenieWo⊂WpunktuxowRn,żep(Uo)=M∩Wo(botopologianap(U)jest
indukowanazRn).NaogółzbiórWojestjeszczezaduży(zachodziinkluzja
M∩Wo⊂011(RmX{0}),aleniemusizachodzićinkluzjaprzeciwna).Rozpa-
trzmyW1=Wo∩011(UoXRn1m).WtedyW1jestzbioremotwartymwRn
orazM∩W1=M∩Wo=p(Uo).Zamiast0rozpatrzmy01=0|W
1.Mamyte-
razp(Uo)=M∩W1⊂0
11
1(UoX{0}).Inkluzja0
11
1(UoX{0})⊂p(Uo)wynika
zróżnowartościowości01,zatemM∩W1=0
11
1(UoX{0})=0
11
1(RmX{0}).✷
1.18.Uwaga.
Jeślipjestróżnowartościowąimmersją,top(U)niemusibyć
podrozmaitością.Przykłademmożebyćnósemka”(rys.1.5),którajestobrazem
immersjip:(0j2π)=U→p(U)⊂R2danejwzoremp(x)=(sinxjsin2x).
Innymprzykłademjesttzw.warszawskasinusoida(rys.1.5),czyliobraz
immersjip:(−3j−1)∪(0j∞)→R2danejwzoremp(x)=(xjsin1
x)dlax>0
orazp(x)=(0jx+2)dlax∈(−3j−1).
Rys.1.5
1.19.Wniosek.
Płatysąpodrozmaitościami.Podrozmaitościmożnapara-
metryzowaćlokalnie.
1.20.Przykład.
Funkcjap:(−πjπ)X(−
π
2jπ
2)→S2⊂R3określonawzo-
remp(Ojc)=(TcosccosOjTcoscsinOjTsinc)totzw.parametryzacjasfe-
ryczna(płatanasferzeopromieniuTwR3,rys.1.6).Odwzorowaniepjest
homeomorfizmem,bomożnajerozszerzyćdodyfeomorfizmuzbioruotwartego
(0j∞)X(−πjπ)X(−
π
2jπ
2)przestrzeniR3zmiennych(TjOjc),danegopodanym
wzoremnapodzbiórotwartyR3(współrzędnesferycznewR3).Przekształce-
nieodwrotneprzyporządkowujepunktowisferyjegowspółrzędnesferyczne:
długośćgeograficznąOiszerokośćgeograficznąc.Obrazemparametryzacjisfe-
rycznejjestsferabezjednegopołudnika.
1.21.Przykład.
Sferębezjednegopunktumożnasparametryzowaćprzy
użyciutzw.rzutustereograficznego.NiechS2⊂R3oznaczasferęopromieniu1
